Mathematik Stochastik – Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung modelliert Wartezeiten zwischen Ereignissen in Poisson-Prozessen und ist zentral für Zuverlässigkeitstheorie und Warteschlangenmodelle. Nach dem Lernen dieser Karten beherrschst du Dichte- und Verteilungsfunktion, berechnest Erwartungswert und Varianz, wendest die Gedächtnislosigkeit an und kennst den Zusammenhang zur Poisson-Verteilung.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Wie lautet die Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0?
- Wie lautet die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) der Exponentialverteilung?
- Was ist der Erwartungswert E[X] einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X ~ Exp(λ)?
- Was ist die Varianz Var[X] der Exponentialverteilung mit Parameter λ?
Lerntipp
Merke dir: λ ist Rate (Ereignisse pro Zeiteinheit), 1/λ ist die mittlere Wartezeit. Zeichne die Dichtefunktion für verschiedene λ – so wird der Skaleneffekt intuitiv.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Stochastik – Exponentialverteilung
- Wie lautet die Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0?
- f(x) = λ · e^(-λx) für x ≥ 0, andernfalls 0. λ ist der Rate-Parameter (Ereignisse pro Zeiteinheit).
- Wie lautet die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) der Exponentialverteilung?
- F(x) = 1 - e^(-λx) für x ≥ 0, andernfalls 0. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Wartezeit höchstens x beträgt.
- Was ist der Erwartungswert E[X] einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X ~ Exp(λ)?
- E[X] = 1/λ. Die mittlere Wartezeit bis zum nächsten Ereignis ist der Kehrwert der Rate.
- Was ist die Varianz Var[X] der Exponentialverteilung mit Parameter λ?
- Var[X] = 1/λ². Die Standardabweichung entspricht dem Erwartungswert: σ = 1/λ.
- Was besagt die Gedächtnislosigkeit (Memoryless Property) der Exponentialverteilung?
- P(X > s + t | X > s) = P(X > t) für alle s, t ≥ 0. Die verbleibende Wartezeit hängt nicht von der bereits verstrichenen Zeit ab.
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