Mathematik Stochastik – Exponentialverteilung
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13 KartenWie lautet die Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0?
Rückseite
f(x) = λ · e^(-λx) für x ≥ 0, andernfalls 0. λ ist der Rate-Parameter (Ereignisse pro Zeiteinheit).
Wie lautet die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) der Exponentialverteilung?
Rückseite
F(x) = 1 - e^(-λx) für x ≥ 0, andernfalls 0. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Wartezeit höchstens x beträgt.
Was ist der Erwartungswert E[X] einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X ~ Exp(λ)?
Rückseite
E[X] = 1/λ. Die mittlere Wartezeit bis zum nächsten Ereignis ist der Kehrwert der Rate.
Was ist die Varianz Var[X] der Exponentialverteilung mit Parameter λ?
Rückseite
Var[X] = 1/λ². Die Standardabweichung entspricht dem Erwartungswert: σ = 1/λ.
Was besagt die Gedächtnislosigkeit (Memoryless Property) der Exponentialverteilung?
Rückseite
P(X > s + t | X > s) = P(X > t) für alle s, t ≥ 0. Die verbleibende Wartezeit hängt nicht von der bereits verstrichenen Zeit ab.
Welche Verteilungsfamilie ist die einzige stetige Verteilung mit Gedächtnislosigkeit?
Rückseite
Die Exponentialverteilung. Sie ist die einzige stetige Verteilung, die P(X > s+t | X > s) = P(X > t) für alle s,t ≥ 0 erfüllt.
Wie hängen Exponentialverteilung und Poisson-Prozess zusammen?
Rückseite
Die Wartezeiten zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen in einem Poisson-Prozess mit Rate λ sind unabhängig und Exp(λ)-verteilt.
Wie lautet die Quantilfunktion (inverse Verteilungsfunktion) der Exponentialverteilung?
Rückseite
F^(-1)(p) = -ln(1-p)/λ für p ∈ [0,1). Das 0,5-Quantil (Median) ist ln(2)/λ ≈ 0,693/λ.
Was ist die Verteilung der Summe von n unabhängigen Exp(λ)-verteilten Zufallsvariablen?
Rückseite
Die Summe folgt einer Erlang-Verteilung (Gamma-Verteilung mit Formparameter n und Rate λ). Dichte: f(x) = λ^n x^(n-1) e^(-λx) / (n-1)!
Wie ist das Minimum von n unabhängigen Exp(λ_i)-verteilten Variablen verteilt?
Rückseite
Min(X₁,...,Xₙ) ~ Exp(λ₁+...+λₙ). Die Rate des Minimums ist die Summe der Einzelraten.
Wann verwendet man die Exponentialverteilung in der Zuverlässigkeitstheorie?
Rückseite
Für Bauteile mit konstanter Ausfallrate (zufällige Ausfälle, keine Alterung). Die Überlebensfunktion ist P(X > t) = e^(-λt).
Wie berechnet man P(a < X ≤ b) für X ~ Exp(λ)?
Rückseite
P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a) = e^(-λa) - e^(-λb) für 0 ≤ a < b. Differenz der Verteilungsfunktion an den Grenzen.
Was ist der Zusammenhang zwischen Exponentialverteilung und geometrischer Verteilung?
Rückseite
Die Exponentialverteilung ist das stetige Analogon der geometrischen Verteilung. Beide besitzen die Gedächtnislosigkeit (diskret vs. stetig).