Mathematik Numerik – Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren ist das wichtigste Iterationsverfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung nichtlinearer Gleichungen. Nach dem Lernen kennst du die Herleitung der Iterationsformel, die Konvergenzordnung, Voraussetzungen für quadratische Konvergenz und Probleme bei Nullstellen höherer Vielfachheit. Du kannst einschätzen, wann das Verfahren versagt und wie modifizierte Varianten Abhilfe schaffen.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Was ist die Grundidee des Newton-Verfahrens?
- Wie lautet die Iterationsformel des Newton-Verfahrens?
- Wie leitet sich die Iterationsformel geometrisch her?
- Welche Konvergenzordnung hat das Newton-Verfahren bei einfachen Nullstellen?
Lerntipp
Zeichne den Graphen von f und die Tangente in x₀ – der Schnitt mit der x-Achse gibt x₁. So siehst du geometrisch, warum x₀ über Konvergenz oder Divergenz entscheidet.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Numerik – Newton-Verfahren
- Was ist die Grundidee des Newton-Verfahrens?
- Nullstelle von f durch Iteration x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) approximieren; Tangente an f in x_n schneidet x-Achse in nächstem Iterierten.
- Wie lautet die Iterationsformel des Newton-Verfahrens?
- x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n), wobei f' die Ableitung von f ist und x_0 ein Startwert nahe der gesuchten Nullstelle.
- Wie leitet sich die Iterationsformel geometrisch her?
- Die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x_n, f(x_n)) hat die Steigung f'(x_n); ihr Schnitt mit der x-Achse liefert x_{n+1}.
- Welche Konvergenzordnung hat das Newton-Verfahren bei einfachen Nullstellen?
- Quadratische Konvergenz: der Fehler verhält sich wie e_{n+1} ≈ C · e_n², sodass sich die Anzahl korrekter Stellen pro Schritt etwa verdoppelt.
- Welche Voraussetzungen müssen für quadratische Konvergenz erfüllt sein?
- f ∈ C², f'(ξ) ≠ 0 an der Nullstelle ξ, und der Startwert x_0 liegt hinreichend nah an ξ (lokale Konvergenz).
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