Mathematik Numerik – Newton-Verfahren
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist die Grundidee des Newton-Verfahrens? · Wie lautet die Iterationsformel des Ne…
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14 KartenWas ist die Grundidee des Newton-Verfahrens?
Rückseite
Nullstelle von f durch Iteration x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) approximieren; Tangente an f in x_n schneidet x-Achse in nächstem Iterierten.
Wie lautet die Iterationsformel des Newton-Verfahrens?
Rückseite
x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n), wobei f' die Ableitung von f ist und x_0 ein Startwert nahe der gesuchten Nullstelle.
Wie leitet sich die Iterationsformel geometrisch her?
Rückseite
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x_n, f(x_n)) hat die Steigung f'(x_n); ihr Schnitt mit der x-Achse liefert x_{n+1}.
Welche Konvergenzordnung hat das Newton-Verfahren bei einfachen Nullstellen?
Rückseite
Quadratische Konvergenz: der Fehler verhält sich wie e_{n+1} ≈ C · e_n², sodass sich die Anzahl korrekter Stellen pro Schritt etwa verdoppelt.
Welche Voraussetzungen müssen für quadratische Konvergenz erfüllt sein?
Rückseite
f ∈ C², f'(ξ) ≠ 0 an der Nullstelle ξ, und der Startwert x_0 liegt hinreichend nah an ξ (lokale Konvergenz).
Welche Abbruchkriterien werden in der Praxis verwendet?
Rückseite
Typisch: |x_{n+1} - x_n| < tol (Schrittweite), |f(x_n)| < tol (Residuum), oder maximale Iterationszahl erreicht; oft kombiniert.
Was passiert bei einer Nullstelle höherer Vielfachheit m > 1?
Rückseite
Die Konvergenz wird nur noch linear mit Faktor (m-1)/m; f'(ξ) = 0 bricht die quadratische Konvergenz, da der Nenner gegen null geht.
Wie modifiziert man das Newton-Verfahren für Nullstellen der Vielfachheit m?
Rückseite
Iteration x_{n+1} = x_n - m · f(x_n)/f'(x_n) stellt quadratische Konvergenz wieder her, wenn m bekannt ist.
Worin unterscheidet sich Newton vom Sekantenverfahren?
Rückseite
Newton nutzt f'(x_n) analytisch (quadratische Konvergenz), Sekantenverfahren approximiert die Ableitung durch Differenzenquotient (superlineare Konvergenz, Ordnung ≈ 1,618).
Wie verallgemeinert man Newton auf Gleichungssysteme F(x) = 0?
Rückseite
x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)⁻¹ F(x_n), wobei J_F die Jacobi-Matrix ist; erfordert Lösung eines linearen Gleichungssystems pro Schritt.
Was ist der Hauptrechenaufwand pro Iterationsschritt beim Newton-Verfahren?
Rückseite
Auswertung von f und f' (skalar) bzw. Lösung eines linearen Systems mit der Jacobi-Matrix (multivariat); oft dominierend.
Nenne drei Situationen, in denen das Newton-Verfahren fehlschlagen kann.
Rückseite
f'(x_n) = 0 (Division durch null), Zyklen bei ungünstigem Startwert, Abdriften gegen Unendlich oder zu einer anderen Nullstelle.
Was tun, wenn die Ableitung f' nicht analytisch vorliegt?
Rückseite
Entweder numerische Differentiation (Finite Differenzen) nutzen oder auf das Sekantenverfahren ausweichen, das keine Ableitung benötigt.
Berechne einen Newton-Schritt für f(x) = x² - 2 mit Startwert x₀ = 1.
Rückseite
f(1) = -1, f'(1) = 2 → x₁ = 1 - (-1)/2 = 1,5; die Nullstelle √2 ≈ 1,414 wird schnell angenähert.