Was ist das Interpolationsproblem?

Gegeben sind n+1 Stützstellen (x_i, y_i) mit paarweise verschiedenen x_i. Gesucht ist eine Funktion p, die p(x_i)=y_i für alle i erfüllt.

Wie lautet das Lagrange-Interpolationspolynom?

L(x) = Σ_{i=0}^n y_i · l_i(x) mit Lagrange-Basispolynomen l_i(x) = Π_{j≠i} (x-x_j)/(x_i-x_j).

Was sind dividierte Differenzen in der Newtonschen Interpolation?

Rekursiv definiert: f[x_i]=y_i, f[x_i,...,x_{i+k}] = (f[x_{i+1},...,x_{i+k}] - f[x_i,...,x_{i+k-1}])/(x_{i+k}-x_i).

Was beschreibt das Runge-Phänomen?

Bei Polynominterpolation mit gleichverteilten Stützstellen divergiert der Fehler für hohe Grade am Rand des Intervalls, z. B. bei f(x)=1/(1+25x²) auf [-1,1].

Wie vermeidet man das Runge-Phänomen?

Verwendung von Tschebyschow-Knoten x_k = cos((2k+1)π/(2n+2)) als Stützstellen – sie minimieren den maximalen Interpolationsfehler.

Mathematik14 kostenlose LernkartenZuletzt aktualisiert: 09.10.2026

Mathematik Numerik – Interpolation und Splines

Interpolation und Splines sind Kerninhalte jeder Numerik-Vorlesung. Nach dem Lernen dieser Karten beherrschst du Lagrange- und Newtonsche Interpolation, verstehst das Runge-Phänomen und kannst kubische Splines mit natürlichen oder periodischen Randbedingungen konstruieren – inklusive Fehlerabschätzung und Stabilitätsanalyse.

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Lernziele

Was du in dieser Lektion lernst

Was ist das Interpolationsproblem?
Wie lautet das Lagrange-Interpolationspolynom?
Was sind dividierte Differenzen in der Newtonschen Interpolation?
Was beschreibt das Runge-Phänomen?

Lerntipp

Zeichne den Interpolationsfehler für gleichverteilte vs. Tschebyschow-Stützstellen bei f(x)=1/(1+25x²) – so visualisierst du das Runge-Phänomen und erkennst, warum Tschebyschow-Knoten für hohe Grade essenziell sind.

Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.

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Häufige Fragen

Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Numerik – Interpolation und Splines

Was ist das Interpolationsproblem?: Gegeben sind n+1 Stützstellen (x_i, y_i) mit paarweise verschiedenen x_i. Gesucht ist eine Funktion p, die p(x_i)=y_i für alle i erfüllt.
Wie lautet das Lagrange-Interpolationspolynom?: L(x) = Σ_{i=0}^n y_i · l_i(x) mit Lagrange-Basispolynomen l_i(x) = Π_{j≠i} (x-x_j)/(x_i-x_j).
Was sind dividierte Differenzen in der Newtonschen Interpolation?: Rekursiv definiert: f[x_i]=y_i, f[x_i,...,x_{i+k}] = (f[x_{i+1},...,x_{i+k}] - f[x_i,...,x_{i+k-1}])/(x_{i+k}-x_i).
Was beschreibt das Runge-Phänomen?: Bei Polynominterpolation mit gleichverteilten Stützstellen divergiert der Fehler für hohe Grade am Rand des Intervalls, z. B. bei f(x)=1/(1+25x²) auf [-1,1].
Wie vermeidet man das Runge-Phänomen?: Verwendung von Tschebyschow-Knoten x_k = cos((2k+1)π/(2n+2)) als Stützstellen – sie minimieren den maximalen Interpolationsfehler.

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