Mathematik Numerik – Interpolation und Splines
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist das Interpolationsproblem? · Wie lautet das Lagrange-Interpolationspolynom?
Karten
14 KartenWas ist das Interpolationsproblem?
Rückseite
Gegeben sind n+1 Stützstellen (x_i, y_i) mit paarweise verschiedenen x_i. Gesucht ist eine Funktion p, die p(x_i)=y_i für alle i erfüllt.
Wie lautet das Lagrange-Interpolationspolynom?
Rückseite
L(x) = Σ_{i=0}^n y_i · l_i(x) mit Lagrange-Basispolynomen l_i(x) = Π_{j≠i} (x-x_j)/(x_i-x_j).
Was sind dividierte Differenzen in der Newtonschen Interpolation?
Rückseite
Rekursiv definiert: f[x_i]=y_i, f[x_i,...,x_{i+k}] = (f[x_{i+1},...,x_{i+k}] - f[x_i,...,x_{i+k-1}])/(x_{i+k}-x_i).
Was beschreibt das Runge-Phänomen?
Rückseite
Bei Polynominterpolation mit gleichverteilten Stützstellen divergiert der Fehler für hohe Grade am Rand des Intervalls, z. B. bei f(x)=1/(1+25x²) auf [-1,1].
Wie vermeidet man das Runge-Phänomen?
Rückseite
Verwendung von Tschebyschow-Knoten x_k = cos((2k+1)π/(2n+2)) als Stützstellen – sie minimieren den maximalen Interpolationsfehler.
Was ist ein kubischer Spline?
Rückseite
Stückweise kubisches Polynom S(x), das auf jedem Teilintervall [x_i, x_{i+1}] ein Polynom 3. Grades ist und global zweimal stetig differenzierbar (C²) ist.
Welche Bedingungen definieren einen natürlichen kubischen Spline?
Rückseite
Zusätzlich zu C²-Stetigkeit und Interpolation: S''(x_0)=S''(x_n)=0 (zweite Ableitung an den Rändern verschwindet).
Was sind periodische Spline-Randbedingungen?
Rückseite
S^{(k)}(x_0) = S^{(k)}(x_n) für k=0,1,2 – Funktionswert, erste und zweite Ableitung stimmen an den Rändern überein.
Was besagt der Fehlerabschätzungssatz für Polynominterpolation?
Rückseite
f(x)-p_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! · Π_{i=0}^n (x-x_i) für ein ξ im Intervall – Fehler hängt von (n+1)-ter Ableitung und Knotenprodukt ab.
Was ist Hermite-Interpolation?
Rückseite
Interpolation, bei der neben Funktionswerten auch Ableitungen an den Stützstellen vorgegeben sind – das Polynom hat höheren Grad.
Warum sind Splines numerisch stabiler als hochgradige Polynome?
Rückseite
Splines verwenden lokale niedriggradige Polynome, vermeiden globale Oszillationen und haben eine bandstrukturierte lineare Gleichungssystem (tridiagonal), das effizient lösbar ist.
Was ist ein linearer Spline?
Rückseite
Stückweise lineare Funktion, die an den Stützstellen interpoliert und stetig (C⁰) ist – einfachste Spline-Form ohne Glattheitsbedingungen höherer Ordnung.
Was bedeutet die Not-a-knot-Bedingung bei kubischen Splines?
Rückseite
Die dritte Ableitung ist an den inneren Knoten x_1 und x_{n-1} stetig – die ersten beiden bzw. letzten beiden Polynomstücke fallen zusammen.
Wie unterscheidet sich oszilierende Interpolation von Spline-Interpolation?
Rückseite
Oszillierende Interpolation nutzt ein einzelnes hochgradiges Polynom (neigt zu Runge-Phänomen), Splines nutzen stückweise niedriggradige Polynome mit C²-Stetigkeit.