Mathematik Analysis – Komplexe Zahlen

• Wie ist die imaginäre Einheit i definiert?
• Wie lautet die kartesische Form einer komplexen Zahl?
• Wie berechnet man den Betrag (Absolutbetrag) einer komplexen Zahl z = a + b·i?
• Was ist die komplex-konjugierte Zahl zu z = a + b·i?

Lerntipp

Zeichne komplexe Zahlen immer in der Gaußschen Zahlenebene ein: Betrag als Abstand zum Ursprung, Argument als Winkel. So werden Betrags- und Argumentmultiplikation bei Polarform sofort anschaulich.

Häufige Fragen

Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Analysis – Komplexe Zahlen

Wie ist die imaginäre Einheit i definiert?

i ist definiert als die Zahl mit der Eigenschaft i² = -1. Damit lässt sich die Gleichung x² + 1 = 0 lösen.

Wie lautet die kartesische Form einer komplexen Zahl?

z = a + b·i mit a, b ∈ ℝ. a ist der Realteil Re(z), b der Imaginärteil Im(z).

Wie berechnet man den Betrag (Absolutbetrag) einer komplexen Zahl z = a + b·i?

|z| = √(a² + b²). Er entspricht dem Abstand des Punktes (a, b) vom Ursprung in der Gaußschen Ebene.

Was ist die komplex-konjugierte Zahl zu z = a + b·i?

Die konjugierte Zahl ist z̅ = a - b·i. Sie spiegelt z an der reellen Achse. Produkt z·z̅ = |z|² ist immer reell.

Wie lautet die polare Darstellung einer komplexen Zahl?

z = r·(cos φ + i·sin φ) mit r = |z| ≥ 0 und φ = arg(z) ∈ (-π, π]. r ist Betrag, φ der Argument (Winkel).

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