Mathematik Analysis – Komplexe Zahlen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Wie ist die imaginäre Einheit i definiert? · Wie lautet die kartesische Form einer ko…
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14 KartenWie ist die imaginäre Einheit i definiert?
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i ist definiert als die Zahl mit der Eigenschaft i² = -1. Damit lässt sich die Gleichung x² + 1 = 0 lösen.
Wie lautet die kartesische Form einer komplexen Zahl?
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z = a + b·i mit a, b ∈ ℝ. a ist der Realteil Re(z), b der Imaginärteil Im(z).
Wie berechnet man den Betrag (Absolutbetrag) einer komplexen Zahl z = a + b·i?
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|z| = √(a² + b²). Er entspricht dem Abstand des Punktes (a, b) vom Ursprung in der Gaußschen Ebene.
Was ist die komplex-konjugierte Zahl zu z = a + b·i?
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Die konjugierte Zahl ist z̅ = a - b·i. Sie spiegelt z an der reellen Achse. Produkt z·z̅ = |z|² ist immer reell.
Wie lautet die polare Darstellung einer komplexen Zahl?
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z = r·(cos φ + i·sin φ) mit r = |z| ≥ 0 und φ = arg(z) ∈ (-π, π]. r ist Betrag, φ der Argument (Winkel).
Wie addiert und subtrahiert man komplexe Zahlen in kartesischer Form?
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Real- und Imaginärteil werden getrennt addiert: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i. Entspricht Vektoraddition in der Ebene.
Wie multipliziert man zwei komplexe Zahlen in kartesischer Form?
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(a+bi)·(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Die Regel i² = -1 wird beim Ausmultiplizieren angewendet.
Wie multipliziert man komplexe Zahlen in polarer Form?
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Beträge werden multipliziert, Argumente addiert: z₁·z₂ = r₁r₂·[cos(φ₁+φ₂) + i·sin(φ₁+φ₂)].
Was besagt die Moivresche Formel für Potenzen?
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Für z = r(cos φ + i sin φ) und n ∈ ℕ gilt: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Erleichtert Potenzberechnung enorm.
Wie berechnet man die n-ten Einheitswurzeln?
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Lösungen von zⁿ = 1 sind zₖ = cos(2πk/n) + i·sin(2πk/n) für k = 0, 1, ..., n-1. Sie liegen auf dem Einheitskreis.
Wie lautet die eulersche Formel?
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e^(iφ) = cos φ + i·sin φ. Sie verbindet Exponentialfunktion mit trigonometrischen Funktionen und ermöglicht kompakte Schreibweise.
Was besagt die eulersche Identität?
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e^(iπ) + 1 = 0. Sie verknüpft die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik: 0, 1, e, i, π.
Wie dividiert man komplexe Zahlen in kartesischer Form?
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Erweitere Zähler und Nenner mit der konjugierten Zahl des Nenners: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c²+d²). Nenner wird reell.
Was besagt der Fundamentalsatz der Algebra für komplexe Zahlen?
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Jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle. ℂ ist algebraisch abgeschlossen.