Mathematik Lineare Algebra – Rang und Kern einer Matrix
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist der Rang einer Matrix? · Was ist der Kern (Nullraum) einer Matrix?
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15 KartenWas ist der Rang einer Matrix?
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Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten einer Matrix, gleich der Dimension des Spaltenraums.
Was ist der Kern (Nullraum) einer Matrix?
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Der Kern besteht aus allen Vektoren x, für die A·x = 0 gilt; er ist ein Unterraum des Definitionsraums.
Wie bestimmt man den Rang einer Matrix algorithmisch?
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Man führt die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in die Zeilenstufenform und zählt die Pivotzeilen (nicht-null Zeilen).
Wie findet man eine Basis des Kerns einer Matrix?
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Man löst das homogene Gleichungssystem A·x = 0, drückt die freien Variablen als Parameter aus und liest die Basisvektoren ab.
Was besagt die Dimensionsformel (Rang-Kern-Satz)?
Rückseite
Für eine Matrix A ∈ ℝ^(m×n) gilt: Rang(A) + Dim(Kern(A)) = n (Anzahl der Spalten).
Wann ist eine lineare Abbildung injektiv?
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Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern nur den Nullvektor enthält, also Dim(Kern) = 0 und Rang = n.
Wann ist eine lineare Abbildung surjektiv?
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Eine lineare Abbildung f: ℝ^n → ℝ^m ist surjektiv, wenn ihr Rang gleich m ist (Bildraum = Zielraum).
Was bedeutet voller Rang bei einer quadratischen Matrix?
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Eine quadratische n×n-Matrix hat vollen Rang, wenn Rang = n; sie ist dann invertierbar, ihr Kern ist {0} und die Determinante ≠ 0.
Wie hängen Rang und Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zusammen?
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Ein System A·x = b ist genau dann lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b) (erweiterter Koeffizientenmatrix).
Wie viele Lösungen hat ein lineares Gleichungssystem bei Rang(A) = Rang(A|b) < n?
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Unendlich viele Lösungen; die Lösungsmenge ist ein affiner Unterraum der Dimension n - Rang(A) (freie Variablen).
Was ist der Zusammenhang zwischen Rang einer Matrix und ihrer Transponierten?
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Rang(A) = Rang(A^T); Zeilenrang und Spaltenrang einer Matrix sind immer gleich.
Wie berechnet man den Rang eines Matrixprodukts A·B?
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Rang(A·B) ≤ min(Rang(A), Rang(B)); der Rang kann durch Multiplikation nur sinken, nie steigen.
Was ist der Kern der Identitätsmatrix I_n?
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Der Kern der Identitätsmatrix besteht nur aus dem Nullvektor {0}; Dim(Kern) = 0, Rang = n.
Wie erkennt man an der Zeilenstufenform, welche Spalten Pivotspalten sind?
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Pivotspalten sind die Spalten, die die ersten nicht-null Einträge (Pivote) der nicht-null Zeilen enthalten; sie bilden eine Basis des Spaltenraums.
Was ist der Unterschied zwischen Spaltenrang und Zeilenrang?
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Es gibt keinen Unterschied: Spaltenrang = Zeilenrang = Rang der Matrix; beide sind gleich der Anzahl der Pivotpositionen.