Mathematik Lineare Algebra – Diagonalisierung
Die Diagonalisierung zerlegt Matrizen in Eigenwerte und Eigenvektoren – das zentrale Werkzeug für Differentialgleichungssysteme, Hauptachsentransformation und Markov-Ketten. Nach dem Lernen dieser Karten beherrschst du das Berechnen von Eigenwerten, das Prüfen der Diagonalisierbarkeit und den Spektralsatz für symmetrische Matrizen.
Lernziele
Was du in dieser Lektion lernst
- Was ist eine diagonalisierbare Matrix?
- Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?
- Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix?
- Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix?
Lerntipp
Berechne Eigenwerte immer über das charakteristische Polynom det(A - λI) = 0. Prüfe dann für jeden Eigenwert die Dimension des Eigenraums: nur bei Summe = n ist die Matrix diagonalisierbar.
Hinweis: Der Inhalt dieser Seite wurde mit einem KI-Modell erzeugt und nicht von Fachmenschen geprüft. Nutze die Karten als Lernhilfe und gleiche medizinische oder rechtliche Aussagen mit deinen Unterlagen ab.
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Häufige Fragen
Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Lineare Algebra – Diagonalisierung
- Was ist eine diagonalisierbare Matrix?
- Eine quadratische Matrix A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D gibt mit A = SDS⁻¹.
- Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?
- Ein Eigenwert λ und Eigenvektor v ≠ 0 erfüllen Av = λv. Der Eigenvektor wird durch A nur gestreckt, nicht gedreht.
- Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix?
- Man löst die charakteristische Gleichung det(A - λI) = 0 nach λ auf. Die Lösungen sind die Eigenwerte.
- Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix?
- Das Polynom χ_A(λ) = det(A - λI) vom Grad n. Seine Nullstellen sind genau die Eigenwerte von A.
- Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?
- Genau dann, wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte n ergibt, also ein Basis aus Eigenvektoren existiert.
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