Mathematik Analysis – Taylor-Polynome und Approximation

• Was ist das Taylor-Polynom n-ten Grades einer Funktion f in x0?
• Wie lautet die Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied?
• Wann konvergiert die Taylor-Reihe gegen die Funktion f?
• Was ist das Maclaurin-Polynom und wie unterscheidet es sich?

Lerntipp

Leite die Taylor-Formel selbst über wiederholte partielle Integration her – der Lagrange-Rest ergibt sich dann natürlich als Integralrest.

Häufige Fragen

Die wichtigsten Fragen zu Mathematik Analysis – Taylor-Polynome und Approximation

Was ist das Taylor-Polynom n-ten Grades einer Funktion f in x0?

T_n(x) = Σ_{k=0}^n f^{(k)}(x0)/k! · (x-x0)^k. Es stimmt in x0 bis zur n-ten Ableitung mit f überein.

Wie lautet die Taylor-Formel mit Lagrange-Restglied?

f(x) = T_n(x) + R_n(x) mit R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! · (x-x0)^{n+1}, ξ zwischen x0 und x.

Wann konvergiert die Taylor-Reihe gegen die Funktion f?

Gleichmäßig auf Kompakta, wenn lim_{n→∞} sup_{x∈K} |R_n(x)| = 0 gilt. Für analytische Funktionen konvergiert sie im Konvergenzintervall.

Was ist das Maclaurin-Polynom und wie unterscheidet es sich?

Spezialfall des Taylor-Polynoms mit Entwicklungsstelle x0 = 0: T_n(x) = Σ_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k! · x^k.

Nenne die Taylor-Reihen von e^x, sin x und cos x um x0 = 0.

e^x = Σ x^k/k!, sin x = Σ (-1)^k x^{2k+1}/(2k+1)!, cos x = Σ (-1)^k x^{2k}/(2k)!. Alle konvergieren auf ℝ.

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