Mathematik Analysis – Monotonie und Extremwerte

Ist f differenzierbar, so ist f streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0 für alle x im Intervall gilt. Für fallend muss f'(x) < 0 gelten.

Hat f an der Stelle x0 ein lokales Extremum und ist dort differenzierbar, so muss f'(x0) = 0 gelten. Nullstellen der Ableitung sind Extremwertkandidaten.

Wechselt f' an der Stelle x0 von + auf -, liegt ein lokales Maximum vor. Wechselt f' von - auf +, liegt ein lokales Minimum vor. Kein Wechsel = kein Extremum.

Ein lokales Extremum ist nur in einer Umgebung das größte/kleinste Funktionswert. Ein globales Extremum ist der größte/kleinste Wert auf dem gesamten Definitionsbereich.

Bei Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen [a,b] müssen auch die Randpunkte a und b geprüft werden – dort können globale Extrema liegen ohne dass f' = 0 ist.

Ist f'(x0) = 0 und f''(x0) > 0, liegt ein lokales Minimum vor. Ist f''(x0) < 0, liegt ein lokales Maximum vor. Bei f''(x0) = 0 ist das Kriterium unentscheidend.

Stellen mit f'(x0) = 0, an denen kein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet. Die Funktion hat dort waagerechte Tangente, aber kein Extremum – z. B. f(x) = x³ bei x = 0.

1. Ableitung f' bilden. 2. Nullstellen von f' berechnen. 3. Vorzeichen von f' auf den durch Nullstellen geteilten Intervallen prüfen. 4. Monotonieverhalten ablesen.

An Ecken oder Kanten (z. B. Betragsfunktionen) kann die Monotonie wechseln, ohne dass f' = 0 ist. Diese Stellen müssen separat in die Intervallbetrachtung einbezogen werden.

Eine konstante Funktion f(x) = c ist monoton steigend und monoton fallend (nicht streng). Die Ableitung ist überall f'(x) = 0.

Wenn die Ableitung f' an der Stelle x0 kein Vorzeichenwechsel zeigt (z. B. f(x) = x³ bei x = 0) oder die zweite Ableitung f''(x0) = 0 ohne Vorzeichenwechsel ist.

Ist f auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar mit f'(x) ≥ 0 (bzw. ≤ 0), so ist f auf [a,b] monoton steigend (bzw. fallend). Streng bei > 0 / < 0.

Ableitung mit Quotientenregel bilden, Zähler = 0 setzen für Kandidaten. Definitionslücken (Polstellen) sind keine Extrema, aber Intervallgrenzen für Monotoniebereiche.

Wendestellen (f'' = 0 mit Vorzeichenwechsel) markieren Krümmungsänderung. Sie können mit Extrema zusammenfallen (z. B. f(x) = x⁴ bei 0), müssen aber nicht. Unabhängige Konzepte.