Mathematik Analysis – Kurvenintegrale

Integral eines Vektorfeldes entlang einer orientierten Kurve: ∫_C F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r'(t) dt, misst die Arbeit des Feldes entlang des Pfades.

ds = |r'(t)| dt, also der Betrag der Ableitung der Parameterdarstellung nach dem Parameter mal dt.

Genau dann, wenn das Vektorfeld ein Gradientfeld ist (F = ∇φ), also ein Potential φ existiert – dann hängt das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Für ein einfach zusammenhängendes Gebiet G mit Randkurve C: ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_G (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA – verbindet Kurvenintegral mit Flächenintegral.

Für eine Fläche Σ mit Randkurve ∂Σ: ∮_∂Σ F·dr = ∬_Σ (∇×F)·n dσ – verknüpft Kurvenintegral des Vektorfeldes mit Flächenintegral seiner Rotation.

Für einen abgeschlossenen Volumenkörper V mit Randfläche ∂V: ∬_∂V F·n dσ = ∭_V ∇·F dV – verbindet Fluss durch Randfläche mit Volumenintegral der Divergenz.

Ein Vektorfeld F heißt konservativ, wenn es ein Gradientfeld ist (F = ∇φ) – dann verschwindet die Rotation (∇×F = 0) und Kurvenintegrale sind wegunabhängig.

Für F = (P, Q) muss die Integrabilitätsbedingung ∂P/∂y = ∂Q/∂x im Untersuchungsgebiet erfüllt sein (bei einfach zusammenhängendem Gebiet hinreichend).

Bei geschlossener Kurve (∮) kann der Integralsatz von Green/Stokes angewendet werden; bei offener Kurve hängt das Ergebnis vom konkreten Pfad ab, außer bei Gradientfeldern.

Arbeit W = ∫_C F·dr = ∫_a^b F(r(t))·r'(t) dt – das Kurvenintegral 2. Art des Kraftfeldes entlang des Bewegungsweges.

Jede geschlossene Kurve kann im Gebiet stetig zu einem Punkt zusammengezogen werden – ohne Löcher. Voraussetzung für Green, Stokes und Potentialexistenz.

Integriere ∂φ/∂x = P nach x, vergleiche ∂φ/∂y mit Q und ∂φ/∂z mit R, bestimme Integrationskonstanten als Funktionen der anderen Variablen.

Die Zirkulation ist das Kurvenintegral 2. Art entlang einer geschlossenen Kurve: ∮_C F·dr – misst die 'Wirbelstärke' des Feldes entlang des geschlossenen Pfades.

Immer, denn ∮_C ∇φ·dr = φ(Ende) - φ(Anfang) = 0 bei geschlossenem Pfad – direkter Folgerung aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.