Mathematik Analysis – Ableitungsregeln
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Wie ist die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 definiert? · Wie lautet die A…
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14 KartenWie ist die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 definiert?
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Als Grenzwert des Differenzenquotienten: f'(x0) = lim_{h→0} (f(x0+h) - f(x0))/h, sofern der Limes existiert.
Wie lautet die Ableitungsregel für Potenzfunktionen f(x) = x^n mit n ∈ ℝ?
Rückseite
f'(x) = n · x^{n-1}. Der Exponent wird als Faktor vorgezogen und um 1 verringert.
Wie lautet die Ableitung einer konstanten Funktion f(x) = c?
Rückseite
f'(x) = 0. Eine Konstante ändert sich nicht, ihre Änderungsrate ist überall null.
Wie bildet man die Ableitung einer Summe oder Differenz zweier Funktionen?
Rückseite
(f ± g)' = f' ± g'. Die Ableitung wird gliedweise gebildet, das Vorzeichen bleibt erhalten.
Wie lautet die Produktregel für die Ableitung von f(x)·g(x)?
Rückseite
(f·g)' = f'·g + f·g'. Ableitung des ersten mal zweites plus erstes mal Ableitung des zweiten.
Wie lautet die Quotientenregel für die Ableitung von f(x)/g(x)?
Rückseite
(f/g)' = (f'·g - f·g')/g². Zähler: Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten. Nenner: unten zum Quadrat.
Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung einer Verkettung f(g(x))?
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(f∘g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Ableitung der äußeren Funktion an der inneren mal Ableitung der inneren Funktion.
Wie lautet die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^x?
Rückseite
f'(x) = e^x. Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung – ein einzigartiges Merkmal dieser Basis.
Wie lautet die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = a^x mit a > 0?
Rückseite
f'(x) = a^x · ln(a). Der Faktor ln(a) entsteht durch Kettenregel und Basistransformation auf e.
Wie lautet die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x)?
Rückseite
f'(x) = 1/x für x > 0. Der Definitionsbereich beschränkt sich auf positive reelle Zahlen.
Wie lautet die Ableitung des Logarithmus zur Basis a: f(x) = log_a(x)?
Rückseite
f'(x) = 1/(x · ln(a)) für x > 0. Basiswechselformel führt zum Faktor 1/ln(a).
Wie lauten die Ableitungen von sin(x) und cos(x)?
Rückseite
sin'(x) = cos(x), cos'(x) = -sin(x). Die Ableitung verschiebt den Graphen um π/2, beim Kosinus mit Vorzeichenwechsel.
Wie lautet die Ableitung der Tangensfunktion f(x) = tan(x)?
Rückseite
f'(x) = 1/cos²(x) = 1 + tan²(x). Definiert für alle x ≠ π/2 + k·π mit k ∈ ℤ.
Was versteht man unter der n-ten Ableitung f^{(n)}(x)?
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Die n-fache hintereinander ausgeführte Ableitung: f'' ist die zweite, f''' die dritte Ableitung. Notation: f^{(n)} oder d^n f/dx^n.