Mathematik Analysis – Ableitung und Differenzierbarkeit
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Wie lautet die formale Definition der Ableitung einer Funktion f an der Stelle x₀? · …
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15 KartenWie lautet die formale Definition der Ableitung einer Funktion f an der Stelle x₀?
Rückseite
f'(x₀) = lim_{h→0} (f(x₀+h) - f(x₀)) / h, sofern der Limes existiert. Der Differenzenquotient beschreibt die mittlere Änderungsrate.
Welche Beziehung besteht zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit an einer Stelle?
Rückseite
Ist f an der Stelle x₀ differenzierbar, so ist f dort auch stetig. Die Umkehrung gilt nicht: Stetigkeit impliziert keine Differenzierbarkeit.
Nenne ein klassisches Beispiel für eine überall stetige, aber nicht überall differenzierbare Funktion.
Rückseite
Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist auf ℝ stetig, aber an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar (Knick).
Wie lautet die Potenzregel für die Ableitung von xⁿ mit n ∈ ℝ?
Rückseite
d/dx (xⁿ) = n · xⁿ⁻¹ für alle reellen Exponenten n und x > 0 (bei n ∈ ℕ für alle x ∈ ℝ).
Wann wendest du die Produktregel an und wie lautet sie?
Rückseite
Bei f(x) = u(x)·v(x): f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Die Ableitung des Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen.
Formuliere die Quotientenregel für f(x) = u(x) / v(x) mit v(x) ≠ 0.
Rückseite
f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))². Nenner quadrieren, Zähler: Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten.
Erkläre die Kettenregel für die Ableitung einer Verkettung f(g(x)).
Rückseite
(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Ableite die äußere Funktion an der inneren Funktion und multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion.
Was ist die Ableitung der Exponentialfunktion eˣ und warum ist sie besonders?
Rückseite
d/dx (eˣ) = eˣ. Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung; Steigung und Funktionswert stimmen überall überein.
Wie lautet die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln(x)?
Rückseite
d/dx (ln x) = 1/x für x > 0. Definiert nur für positive Argumente, Steigung fällt hyperbolisch ab.
Nenne die Ableitungen von sin(x) und cos(x).
Rückseite
d/dx sin(x) = cos(x); d/dx cos(x) = -sin(x). Der Vorzeichenwechsel beim Kosinus ist typisch für trigonometrische Ableitungen.
Was besagt der Satz von Rolle als Spezialfall des Mittelwertsatzes?
Rückseite
Ist f auf [a,b] stetig, auf (a,b) differenzierbar und f(a)=f(b), so existiert ξ ∈ (a,b) mit f'(ξ)=0 (waagerechte Tangente).
Wie bestimmst du lokale Extrema mithilfe der ersten und zweiten Ableitung?
Rückseite
Kandidaten: f'(x)=0. Ist f''(x)>0 → lokales Minimum; f''(x)<0 → lokales Maximum; f''(x)=0 → weiter prüfen (Vorzeichenwechsel).
Was charakterisiert einen Wendepunkt einer Funktion?
Rückseite
Wendepunkt: f''(x₀)=0 und f'' wechselt das Vorzeichen an x₀. Die Krümmung ändert sich (links-rechts/rechts-links), Tangente schneidet den Graphen.
Wann ist eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar?
Rückseite
Bei Ecken/Knicken (|x| bei 0), senkrechten Tangenten (∛x bei 0), Unstetigkeiten oder oszillierendem Verhalten (sin(1/x) bei 0). Der Differenzenquotient konvergiert nicht.
Wie leitest du eine inverse Funktion ab, wenn die Ableitung der ursprünglichen Funktion bekannt ist?
Rückseite
(f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y)), vorausgesetzt f'(f⁻¹(y)) ≠ 0. Kehrwert der Ableitung an der umgekehrten Stelle.