Mathematik Analysis – Folgen und Konvergenz
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine Folge in den reellen Zahlen? · Wie lautet die ε-Definition der Konvergen…
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15 KartenWas ist eine Folge in den reellen Zahlen?
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Eine Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, also eine geordnete Liste reeller Zahlen a₁, a₂, a₃, …
Wie lautet die ε-Definition der Konvergenz einer Folge?
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Eine Folge (aₙ) konvergiert gegen g, wenn zu jedem ε > 0 ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt: |aₙ - g| < ε.
Wann divergiert eine Folge?
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Eine Folge divergiert, wenn sie nicht konvergiert – also keinen Grenzwert in ℝ besitzt, beispielsweise weil sie oszilliert oder gegen unendlich strebt.
Ist der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig?
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Ja, der Grenzwert ist eindeutig: Konvergiert (aₙ) gegen g₁ und g₂, folgt g₁ = g₂, da sonst die ε-Umgebungen disjunkt wären.
Was besagt der Monotoniekonvergenzsatz?
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Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Supremum; jede monoton fallende, nach unten beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Infimum.
Wann kann das Majorantenkriterium angewendet werden?
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Wenn |aₙ| ≤ bₙ für fast alle n gilt und (bₙ) eine Nullfolge ist, dann ist (aₙ) ebenfalls eine Nullfolge.
Was ist eine Nullfolge?
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Eine Folge (aₙ) heißt Nullfolge, wenn sie gegen 0 konvergiert, also ∀ ε > 0 ∃ N ∀ n ≥ N: |aₙ| < ε.
Wie verhält sich der Grenzwert bei der Summe zweier konvergenter Folgen?
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Konvergieren (aₙ) gegen a und (bₙ) gegen b, dann konvergiert (aₙ + bₙ) gegen a + b – der Limes respektiert die Addition.
Wie verhält sich der Grenzwert beim Produkt zweier konvergenter Folgen?
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Konvergieren (aₙ) gegen a und (bₙ) gegen b, dann konvergiert (aₙ · bₙ) gegen a · b – der Limes respektiert die Multiplikation.
Wie ist die eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge definiert?
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e = lim (1 + 1/n)ⁿ für n → ∞; die Folge ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, daher konvergent.
Was ist eine Cauchy-Folge?
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Eine Folge (aₙ) heißt Cauchy-Folge, wenn ∀ ε > 0 ∃ N ∀ m,n ≥ N: |aₘ - aₙ| < ε – die Glieder werden untereinander beliebig nah.
Was bedeutet die Vollständigkeit der reellen Zahlen für Cauchy-Folgen?
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In ℝ konvergiert jede Cauchy-Folge – dies unterscheidet ℝ von ℚ, wo Cauchy-Folgen gegen irrationale Lücken laufen können.
Was besagt der Satz von Bolzano-Weierstraß für Folgen?
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Jede beschränkte Folge in ℝ besitzt eine konvergente Teilfolge – ein zentraler Kompaktheitssatz für die Analysis.
Konvergiert die Folge aₙ = 1/n und wenn ja, gegen welchen Grenzwert?
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Ja, sie konvergiert gegen 0, da für jedes ε > 0 ein N > 1/ε existiert, sodass für alle n ≥ N: 1/n < ε gilt.
Konvergiert die Folge aₙ = (-1)ⁿ?
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Nein, sie divergiert, da sie oszilliert zwischen 1 und -1; zwei Teilfolgen konvergieren gegen verschiedene Grenzwerte, was dem Eindeutigkeitssatz widerspricht.