Mathematik Lineare Algebra – Eigenwerte und Eigenvektoren
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was definiert einen Eigenwert λ und Eigenvektor v einer Matrix A? · Wie berechnet man…
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15 KartenWas definiert einen Eigenwert λ und Eigenvektor v einer Matrix A?
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Ein Skalar λ ≠ 0 heißt Eigenwert, wenn es einen Vektor v ≠ 0 mit Av = λv gibt; v ist der zugehörige Eigenvektor.
Wie berechnet man die Eigenwerte einer n×n-Matrix A?
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Löse das charakteristische Polynom det(A - λI) = 0 nach λ auf; die Nullstellen sind die Eigenwerte.
Was ist der Unterschied zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit?
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Algebraische Vielfachheit: Exponent im charakteristischen Polynom. Geometrische Vielfachheit: Dimension des Eigenraums (Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren).
Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?
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Genau dann, wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte n beträgt, also eine Basis aus Eigenvektoren existiert.
Was besagt der Spektralsatz für reell symmetrische Matrizen?
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Jede symmetrische Matrix ist orthogonal diagonalisierbar: A = QΛQ^T mit orthogonaler Q und reeller Diagonalmatrix Λ der Eigenwerte.
Wie hängen Spur und Determinante mit den Eigenwerten zusammen?
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Die Spur equals Summe aller Eigenwerte (mit Vielfachheit), die Determinante equals Produkt aller Eigenwerte.
Wie berechnet man A^k effizient über Diagonalisierung?
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Bei A = SDS^{-1} gilt A^k = SD^kS^{-1}; D^k erhält man durch Potenzieren der Diagonaleinträge (Eigenwerte).
Welche Eigenwerte haben obere Dreiecksmatrizen?
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Die Diagonaleinträge sind genau die Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit), da das charakteristische Polynom direkt ablesbar ist.
Was haben ähnliche Matrizen gemeinsam?
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Gleiche Eigenwerte mit gleichen algebraischen und geometrischen Vielfachheiten, gleiche Spur, gleiche Determinante, gleiches charakteristisches Polynom.
Wie findet man die Hauptkomponenten bei PCA über Eigenwerte?
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Eigenvektoren der Kovarianzmatrix (geordnet nach absteigenden Eigenwerten) geben die Hauptkomponenten; Eigenwerte entsprechen der erklärten Varianz.
Was ist die Jordan-Normalform und wann braucht man sie?
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Blockdiagonale Form mit Jordan-Blöcken für nicht diagonalisierbare Matrizen; nötig, wenn geometrische < algebraische Vielfachheit.
Wie funktioniert die Potenzmethode zur numerischen Eigenwertberechnung?
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Iteriere x_{k+1} = Ax_k / ||Ax_k||; konvergiert zum Eigenvektor des betragsgrößten Eigenwerts (unter Bedingungen).
Wie verhalten sich Eigenwerte bei Invertierung einer Matrix?
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Ist A invertierbar mit Eigenwert λ, dann ist 1/λ Eigenwert von A^{-1} mit demselben Eigenvektor.
Was unterscheidet Singulärwertzerlegung (SVD) von Eigenwertzerlegung?
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SVD existiert für jede Matrix (A = UΣV^T), nutzt Singulärwerte (Wurzeln der Eigenwerte von A^TA); Eigenwertzerlegung nur für quadratische, diagonalisierbare Matrizen.
Wann sind Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte linear unabhängig?
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Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig – Beweis über Induktion und lineare Kombination.