Mathematik Stochastik – Erwartungswert und Varianz
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Wie wird der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable definiert? · Wie lautet d…
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15 KartenWie wird der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable definiert?
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Der Erwartungswert E(X) ist die Summe aller möglichen Werte x_i multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten P(X=x_i).
Wie lautet die Definition der Varianz einer Zufallsvariable?
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Die Varianz Var(X) misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert: Var(X) = E[(X - E(X))^2].
Welche Rechenregel gilt für den Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen?
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Der Erwartungswert ist linear: E(X + Y) = E(X) + E(Y), auch ohne Unabhängigkeit.
Wie berechnet man die Varianz einer linearen Transformation aX + b?
Rückseite
Var(aX + b) = a^2 * Var(X); der additive Term b verschiebt die Verteilung nicht.
Was besagt der Verschiebungssatz für die Varianz?
Rückseite
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2; er erleichtert die Berechnung über den zweiten Rohmoment.
Wie groß sind Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilung B(n, p)?
Rückseite
E(X) = n * p und Var(X) = n * p * (1 - p) für n Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Welche Erwartungswerte und Varianzen hat die Poissonverteilung mit Parameter λ?
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Sowohl Erwartungswert als auch Varianz betragen λ; dies kennzeichnet die Gleichverteilung der Streuung.
Wie lautet der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable mit Dichtefunktion f(x)?
Rückseite
E(X) = ∫_{-∞}^{∞} x * f(x) dx, sofern das Integral absolut konvergiert.
Was ist die Kovarianz zweier Zufallsvariablen und wie wird sie berechnet?
Rückseite
Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y); sie misst linearen Zusammenhang.
Wann sind zwei Zufallsvariablen unkorreliert und was folgt für die Varianz der Summe?
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X,Y unkorreliert ⇔ Cov(X,Y)=0; dann gilt Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y).
Wie wird der Korrelationskoeffizient ρ aus Kovarianz und Varianzen gebildet?
Rückseite
ρ = Cov(X,Y) / √(Var(X)Var(Y)); er normiert den linearen Zusammenhang auf [-1, 1].
Was besagt die Bienaymé-Chebyshev-Ungleichung für eine Zufallsvariable mit endlicher Varianz?
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P(|X - E(X)| ≥ kσ) ≤ 1/k^2 für jedes k > 0; sie schränkt die Streuung ein.
Wie verhalten sich Erwartungswert und Varianz bei unabhängigen Zufallsvariablen im Produkt?
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Für unabhängige X,Y gilt E(XY) = E(X)E(Y) und Var(XY) = E(X)^2Var(Y) + E(Y)^2Var(X) + Var(X)Var(Y).
Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Varianz?
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Die Standardabweichung σ = √Var(X) hat die gleiche Einheit wie X, die Varianz die quadrierte Einheit.
Wie lautet der Erwartungswert einer Exponentialverteilung mit Rate λ?
Rückseite
E(X) = 1/λ und Var(X) = 1/λ^2; die Verteilung ist gedächtnislos und modelliert Wartezeiten.