Mathematik Stochastik – Markov-Ketten
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was definiert eine Markov-Kette? · Wie lautet die Markov-Eigenschaft formal?
Karten
15 KartenWas definiert eine Markov-Kette?
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Eine Folge von Zufallsvariablen mit diskreter Zeit und diskretem Zustandsraum, die die Markov-Eigenschaft erfüllt: Zukunft hängt nur vom aktuellen Zustand ab.
Wie lautet die Markov-Eigenschaft formal?
Rückseite
P(X_{n+1}=j | X_n=i, X_{n-1}=i_{n-1}, ...) = P(X_{n+1}=j | X_n=i) – bedingte Unabhängigkeit von der Vergangenheit gegeben der Gegenwart.
Was ist eine Übergangsmatrix P?
Rückseite
Quadratische Matrix mit Einträgen p_{ij} = P(X_{n+1}=j | X_n=i); Zeilen summieren sich zu 1, alle Einträge nicht-negativ.
Wie berechnest du die n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten?
Rückseite
Die n-Schritt-Matrix ist P^n – Matrixpotenz der Übergangsmatrix; Eintrag (i,j) gibt Wahrscheinlichkeit für Übergang i→j in n Schritten.
Was charakterisiert eine stationäre Verteilung π?
Rückseite
Wahrscheinlichkeitsvektor mit πP = π; bleibt unter Zeitentwicklung invariant und erfüllt Σ π_i = 1, π_i ≥ 0.
Wann ist eine Markov-Kette ergodisch?
Rückseite
Wenn sie irreduzibel (alle Zustände kommunizieren), aperiodisch und positiv rekurrent ist – dann existiert eindeutige stationäre Verteilung und Grenzwahrscheinlichkeiten.
Unterscheide rekurrente und transiente Zustände.
Rückseite
Rekurrent: Rückkehrwahrscheinlichkeit = 1 (sichere Rückkehr). Transient: Rückkehrwahrscheinlichkeit < 1 (positive Wahrscheinlichkeit, nie zurückzukehren).
Was bedeutet Periodizität eines Zustands?
Rückseite
Periode d = ggT{n ≥ 1 : p_{ii}^{(n)} > 0}; d=1 heißt aperiodisch, d>1 bedeutet zyklisches Rückkehrverhalten alle d Schritte.
Was sind absorbierende Zustände?
Rückseite
Zustände mit p_{ii}=1 und p_{ij}=0 für j≠i; einmal erreicht, wird der Zustand nie wieder verlassen – Endzustände der Kette.
Was besagt die Chapman-Kolmogorov-Gleichung?
Rückseite
p_{ij}^{(m+n)} = Σ_k p_{ik}^{(m)} p_{kj}^{(n)} – n-Schritt-Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch Multiplikation der Übergangsmatrizen berechnen.
Wann gilt die detaillierte Bilanz π_i p_{ij} = π_j p_{ji}?
Rückseite
Für zeitumkehrbare Ketten; hinreichende Bedingung für stationäre Verteilung – wenn erfüllt, ist π stationär und Kette reversibel.
Wie klassifizierst du Zustände einer endlichen Markov-Kette?
Rückseite
Zerlege in kommunizierende Klassen; innerhalb einer Klasse haben alle Zustände gleiche Rekursivität und Periodizität – abgeschlossene Klassen sind rekurrent.
Was ist der fundamentale Matrix N bei absorbierenden Ketten?
Rückseite
N = (I - Q)^{-1} mit Q Übergangsmatrix der transienten Zustände; Eintrag n_{ij} = erwartete Besuchsanzahl von j beim Start in i vor Absorption.
Wie berechnest du die mittlere Erstpassagezeit m_{ij}?
Rückseite
m_{ij} = 1 + Σ_{k≠j} p_{ik} m_{kj} für i≠j; m_{jj} = 0; löst lineares Gleichungssystem – erwartete Schritte bis erster Besuch von j.
Nenne ein klassisches Anwendungsbeispiel für Markov-Ketten.
Rückseite
PageRank-Algorithmus: Webseiten als Zustände, Links als Übergänge; stationäre Verteilung der Surfer-Kette gibt Wichtigkeit der Seiten an.