Mathematik Analysis – Stetigkeit und Zwischenwertsatz
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Wie lautet die ε-δ-Definition der Stetigkeit an der Stelle x₀? · Wann ist eine Funkti…
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14 KartenWie lautet die ε-δ-Definition der Stetigkeit an der Stelle x₀?
Rückseite
f ist in x₀ stetig, wenn ∀ε>0 ∃δ>0: |x-x₀|<δ ⇒ |f(x)-f(x₀)|<ε. Der δ hängt von ε und x₀ ab.
Wann ist eine Funktion nach dem Folgenkriterium stetig?
Rückseite
f ist in x₀ stetig gdw. für jede Folge (xₙ) mit xₙ→x₀ gilt: f(xₙ)→f(x₀). Grenzwertbildung und Funktionsausführung sind vertauschbar.
Welche elementaren Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig?
Rückseite
Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion, Logarithmus und deren Umkehrfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
Sind Summe, Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetig?
Rückseite
Ja: Sind f, g in x₀ stetig, so sind f+g, f·g und f/g (für g(x₀)≠0) in x₀ stetig. Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.
Nenne die drei Hauptarten von Unstetigkeitsstellen.
Rückseite
Hebbare Unstetigkeit (Limes existiert, Funktionswert fehlt/weicht ab), Sprungstelle (einseitige Limes existieren, sind verschieden), Polstelle (mindestens ein einseitiger Limes ist unendlich).
Wie lautet der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen?
Rückseite
Sei f:[a,b]→ℝ stetig mit f(a)<f(b). Dann nimmt f jeden Wert y∈[f(a),f(b)] mindestens einmal an: ∃ξ∈[a,b]: f(ξ)=y.
Wie wendet man den Zwischenwertsatz zur Nullstellenbestimmung an?
Rückseite
Ist f auf [a,b] stetig und f(a)·f(b)<0 (Vorzeichenwechsel), so existiert mindestens eine Nullstelle ξ∈(a,b) mit f(ξ)=0. Basis für Bisektionsverfahren.
Was unterscheidet gleichmäßige Stetigkeit von punktweiser Stetigkeit?
Rückseite
Bei gleichmäßiger Stetigkeit hängt δ nur von ε ab, nicht vom Ort x₀: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y: |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε. Stärker als punktweise Stetigkeit.
Was besagt der Satz von Heine-Cantor?
Rückseite
Jede auf einem kompakten Intervall [a,b] definierte stetige Funktion ist dort gleichmäßig stetig. Kompaktheit sichert die Gleichmäßigkeit der Stetigkeit.
Was ist eine lipschitzstetige Funktion?
Rückseite
f heißt lipschitzstetig, wenn ∃L≥0 ∀x,y: |f(x)-f(y)|≤L·|x-y|. Jede lipschitzstetige Funktion ist gleichmäßig stetig, die Umkehrung gilt nicht allgemein.
Was garantiert der Satz von Weierstrass für stetige Funktionen?
Rückseite
Eine auf einem kompakten Intervall [a,b] stetige Funktion nimmt ihr Maximum und Minimum an: ∃x₁,x₂∈[a,b] ∀x∈[a,b]: f(x₁)≤f(x)≤f(x₂).
Wann ist die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion wieder stetig?
Rückseite
Ist f:[a,b]→ℝ stetig und streng monoton, so ist die Umkehrfunktion f⁻¹ auf dem Bildintervall ebenfalls stetig und streng monoton.
Wie nutzt man den Zwischenwertsatz für Fixpunktsätze?
Rückseite
Für stetiges f:[a,b]→[a,b] existiert ein Fixpunkt ξ mit f(ξ)=ξ. Beweis: Hilfsfunktion g(x)=f(x)-x hat Vorzeichenwechsel an den Rändern.
Warum ist f(x)=1/x auf (0,1] nicht gleichmäßig stetig?
Rückseite
Für ε=1 lässt sich kein δ>0 finden, das für alle x,y∈(0,1] funktioniert: nahe 0 wird die Steigung beliebig groß, δ müsste gegen 0 gehen.