Mathematik Analysis – Reihen und Konvergenzkriterien
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine Reihe in der Analysis? · Wann konvergiert eine Reihe?
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15 KartenWas ist eine Reihe in der Analysis?
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Eine Reihe ist der Grenzwert der Partialsummenfolge einer Folge (a_n): Σ a_k = lim_{n→∞} Σ_{k=1}^n a_k.
Wann konvergiert eine Reihe?
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Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen einen endlichen Grenzwert besitzt; andernfalls divergiert sie.
Was besagt das Nullfolgen-Kriterium (notwendige Konvergenzbedingung)?
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Konvergiert Σ a_k, muss die Gliedfolge (a_k) gegen 0 konvergieren. Umgekehrt gilt dies nicht (Gegenbeispiel: harmonische Reihe).
Wann konvergiert die geometrische Reihe Σ q^k?
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Die geometrische Reihe konvergiert genau für |q| < 1 gegen 1/(1-q); für |q| ≥ 1 divergiert sie.
Wie verhält sich die harmonische Reihe Σ 1/k?
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Die harmonische Reihe divergiert, obwohl ihre Glieder gegen 0 streben – klassisches Gegenbeispiel zur Umkehrung des Nullfolgen-Kriteriums.
Wann wendet man das Majorantenkriterium an?
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Liegt 0 ≤ a_k ≤ b_k für alle k und konvergiert Σ b_k, so konvergiert auch Σ a_k (Majorante).
Was besagt das Minorantenkriterium?
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Liegt 0 ≤ b_k ≤ a_k für alle k und divergiert Σ b_k, so divergiert auch Σ a_k (Minorante).
Wie funktioniert das Quotientenkriterium (d'Alembert)?
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Für a_k > 0 sei q = lim (a_{k+1}/a_k). Konvergenz für q < 1, Divergenz für q > 1, keine Aussage für q = 1.
Wie funktioniert das Wurzelkriterium (Cauchy)?
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Sei q = lim sup (a_k)^{1/k}. Konvergenz für q < 1, Divergenz für q > 1, keine Aussage für q = 1.
Wann gilt das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen?
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Für Σ (-1)^k b_k mit b_k ≥ 0: Konvergenz, falls (b_k) monoton fällt und gegen 0 konvergiert.
Was ist der Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz?
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Σ a_k konvergiert absolut, wenn Σ |a_k| konvergiert; bedingt, wenn Σ a_k konvergiert, aber Σ |a_k| divergiert.
Was besagt der Umordnungssatz von Riemann?
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Eine bedingt konvergente Reihe kann durch Umordnung auf jeden beliebigen reellen Wert oder auf ±∞ gebracht werden; absolut konvergente Reihen sind umordnungsfest.
Wie lautet Cauchys Verdichtungskriterium?
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Für monoton fallende a_k ≥ 0 konvergiert Σ a_k genau dann, wenn Σ 2^k a_{2^k} konvergiert (nützlich für 1/(k ln k)).
Wann wendet man das Integral-Kriterium an?
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Für f(x) ≥ 0, fallend, stetig auf [1,∞) mit f(k)=a_k: Σ a_k konvergiert genau dann, wenn ∫_1^∞ f(x) dx konvergiert.
Was besagt Cauchys Konvergenzkriterium für Reihen?
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Σ a_k konvergiert gdw. ∀ε>0 ∃N: |Σ_{k=m+1}^n a_k| < ε für alle n > m ≥ N (Cauchy-Folgen-Kriterium auf Partialsummen angewendet).