Mathematik Analysis – Differentialgleichungen
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14 KartenWas ist eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL)?
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Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion einer Variablen und ihre Ableitungen enthält. Partielle DGLn enthalten mehrere unabhängige Variablen.
Wie bestimmt man die Ordnung einer DGL?
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Die Ordnung ist die höchste vorkommende Ableitungsstufe der gesuchten Funktion. Beispiel: y'' + y = 0 ist zweiter Ordnung.
Wann heißt eine DGL linear?
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Die gesuchte Funktion y und ihre Ableitungen treten nur in erster Potenz auf, nicht in Produkten oder nichtlinearen Funktionen wie sin(y).
Was unterscheidet homogene von inhomogenen linearen DGLn?
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Homogen: Störglied (rechte Seite) ist null. Inhomogen: Störglied ungleich null. Allgemeine Lösung = homogeneous Lösung + partikuläre Lösung.
Wann ist das Trennungsverfahren (Separation der Variablen) anwendbar?
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Bei DGLn der Form y' = g(x)·h(y). Man schreibt dy/h(y) = g(x)dx und integriert beide Seiten. Konstante nicht vergessen.
Wie löst man lineare DGLn 1. Ordnung mit Integrationsfaktor?
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Form y' + p(x)y = q(x). Integrationsfaktor μ(x) = exp(∫p(x)dx). Multipliziere Gleichung mit μ, linke Seite wird (μy)', dann integrieren.
Wozu dient die Variationskonstante bei linearen DGLn 1. Ordnung?
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Findet partikuläre Lösung der inhomogenen DGL. Ansatz: y_p(x) = C(x)·y_h(x), wobei y_h die homogene Lösung ist. Bestimme C'(x) durch Einsetzen.
Wie lautet der Lösungsansatz für lineare DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?
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Exponentialansatz y = e^(λx). Einsetzen liefert charakteristisches Polynom. Nullstellen λ bestimmen Basislösungen: reell → e^(λx), komplex → e^(ax)cos(bx), e^(ax)sin(bx).
Was passiert bei mehrfacher Nullstelle λ im charakteristischen Polynom?
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Bei k-facher Nullstelle λ entstehen k linear unabhängige Lösungen: e^(λx), x·e^(λx), ..., x^(k-1)·e^(λx).
Welchen Vorteil bietet die Laplace-Transformation beim Lösen von DGLn?
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Wandelt Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen um. Anfangsbedingungen gehen direkt ein. Besonders nützlich bei Störgliedern mit Sprüngen (Sprungfunktion, Dirac-Impuls).
Was ist der Unterschied zwischen Anfangswert- und Randwertproblem?
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Anfangswertproblem: Bedingungen an einem Punkt (z. B. y(0), y'(0)). Randwertproblem: Bedingungen an verschiedenen Punkten (z. B. y(0), y(L)). Existenz/Eindeutigkeit schwieriger.
Was besagt der Satz von Picard-Lindelöf?
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Für y' = f(x,y) mit y(x₀)=y₀ existiert genau eine lokale Lösung, wenn f stetig und in y lokal Lipschitz-stetig ist. Garantiert Eindeutigkeit.
Wie erhält man die partikuläre Lösung aus der allgemeinen Lösung?
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Setze Anfangs- oder Randbedingungen in die allgemeine Lösung ein. Das lineare Gleichungssystem für die Integrationskonstanten lösen.
Modelliere radioaktiven Zerfall als DGL und nenne die Lösung.
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N'(t) = -λ·N(t) mit λ > 0 (Zerfallskonstante). Lösung: N(t) = N₀·e^(-λt). Halbwertszeit T₁/₂ = ln(2)/λ.