Mathematik Lineare Algebra – Matrizen und Rechenregeln
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine Matrix der Größe m×n? · Wann sind zwei Matrizen addierbar?
Karten
15 KartenWas ist eine Matrix der Größe m×n?
Rückseite
Eine rechteckige Anordnung von m Zeilen und n Spalten mit Einträgen aus einem Körper, meist reellen Zahlen.
Wann sind zwei Matrizen addierbar?
Rückseite
Genau dann, wenn sie gleiche Dimension m×n haben; die Addition erfolgt komponentenweise.
Wie wird eine Matrix mit einem Skalar multipliziert?
Rückseite
Jeder Eintrag der Matrix wird mit dem Skalar multipliziert; die Dimension bleibt unverändert.
Wann ist das Produkt A·B zweier Matrizen definiert?
Rückseite
Wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist; Ergebnisdimension: Zeilen(A) × Spalten(B).
Ist die Matrixmultiplikation kommutativ?
Rückseite
Nein, im Allgemeinen gilt A·B ≠ B·A; die Reihenfolge der Faktoren ändert das Ergebnis oder die Definiertheit.
Was charakterisiert die Einheitsmatrix I_n?
Rückseite
Quadratische n×n-Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst; neutrales Element der Multiplikation.
Wie entsteht die transponierte Matrix A^T?
Rückseite
Durch Spiegelung an der Hauptdiagonale: Zeilen werden zu Spalten, Spalten zu Zeilen; (A^T)_ij = A_ji.
Wie berechnet man die Determinante einer 2×2-Matrix?
Rückseite
Für Matrix [[a,b],[c,d]] gilt det = a·d − b·c; Maß für Flächeninhaltsverzerrung der linearen Abbildung.
Nach welcher Regel bestimmt man die Determinante einer 3×3-Matrix?
Rückseite
Sarrus-Regel: Summe der Hauptdiagonalprodukte minus Summe der Nebendiagonalprodukte nach Spaltenwiederholung.
Wann besitzt eine quadratische Matrix eine Inverse?
Rückseite
Genau dann, wenn ihre Determinante ungleich null ist; die Matrix heißt dann regulär oder invertierbar.
Wie lautet die explizite Formel für die Inverse einer 2×2-Matrix?
Rückseite
A^(-1) = (1/det) · [[d,−b],[−c,a]] für A = [[a,b],[c,d]] mit det ≠ 0.
Was beschreibt der Rang einer Matrix?
Rückseite
Maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten; gleich der Dimension des Bildraums der zugehörigen linearen Abbildung.
Wann heißt eine quadratische Matrix orthogonal?
Rückseite
Wenn ihre Transponierte ihrer Inversen entspricht: A^T = A^(-1); Spalten bilden ein Orthonormalsystem.
Was ist die Spur einer quadratischen Matrix?
Rückseite
Summe der Hauptdiagonaleinträge; spur(A·B) = spur(B·A) und spur ist basisunabhängig.
Wie multipliziert man Blockmatrizen?
Rückseite
Analog zur skalaren Multiplikation, wobei Blockprodukte definiert sein müssen und die Reihenfolge innerhalb der Blöcke beibehalten wird.