Mathematik Analysis – Fourier-Reihen
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine Fourier-Reihe? · Wie lauten die Formeln für die Fourier-Koeffizienten a₀…
Karten
14 KartenWas ist eine Fourier-Reihe?
Rückseite
Eine Fourier-Reihe stellt eine periodische Funktion als unendliche Summe aus Sinus- und Cosinus-Funktionen mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz dar.
Wie lauten die Formeln für die Fourier-Koeffizienten a₀, aₙ, bₙ?
Rückseite
a₀ = (1/π)∫f(x)dx, aₙ = (1/π)∫f(x)cos(nx)dx, bₙ = (1/π)∫f(x)sin(nx)dx, jeweils über eine Periode integriert.
Welche Dirichlet-Bedingungen garantieren die punktweise Konvergenz einer Fourier-Reihe?
Rückseite
Die Funktion muss stückweise stetig, stückweise monoton und absolut integrierbar über eine Periode sein.
Was beschreibt das Gibbs-Phänomen an Sprungstellen?
Rückseite
Die Fourier-Reihe über- und unterschwingt nahe Sprungstellen um ca. 9 % der Sprunghöhe, unabhängig von der Summandenzahl.
Wie vereinfachen sich die Koeffizienten bei geraden und ungeraden Funktionen?
Rückseite
Gerade Funktionen haben nur Cosinus-Terme (bₙ=0), ungerade Funktionen nur Sinus-Terme (aₙ=0), da die anderen Integrale über symmetrische Intervalle verschwinden.
Was besagt die Parseval-Gleichung für Fourier-Reihen?
Rückseite
Die Energie der Funktion im Zeitbereich entspricht der Summe der quadrierten Fourier-Koeffizienten im Frequenzbereich: (1/π)∫|f|² = a₀²/2 + Σ(aₙ²+bₙ²).
Warum bilden {1, cos(nx), sin(nx)} ein orthogonales System auf [-π, π]?
Rückseite
Die Integrale der paarweisen Produkte über eine Periode verschwinden: ∫cos(mx)cos(nx)=0 für m≠n, entsprechend für Sinus und gemischte Produkte.
Worin unterscheidet sich die Fourier-Transformierte von der Fourier-Reihe?
Rückseite
Die Fourier-Reihe diskretisiert das Spektrum periodischer Funktionen, die Fourier-Transformierte liefert ein kontinuierliches Spektrum für nicht-periodische, absolut integrierbare Funktionen.
Wie lautet die Fourier-Reihe der 2π-periodischen Sägezahnfunktion f(x)=x auf (-π, π)?
Rückseite
f(x) = 2 Σ (-1)ⁿ⁺¹/n sin(nx); nur Sinus-Terme, da die Funktion ungerade ist, Koeffizienten fallen wie 1/n ab.
Welche Fourier-Reihe ergibt sich für die 2π-periodische Rechteckfunktion?
Rückseite
f(x) = (4/π) Σ 1/(2k-1) sin((2k-1)x); nur ungerade Sinus-Harmonische, Amplituden fallen wie 1/n ab, Gibbs-Phänomen an den Sprüngen.
Unter welchen Bedingungen darf eine Fourier-Reihe gliedweise differenziert werden?
Rückseite
Die Funktion muss stetig differenzierbar sein und ihre Ableitung stückweise stetig; dann konvergiert die abgeleitete Reihe gegen f'(x).
Wie lautet die komplexe Fourier-Reihe mit Koeffizienten cₙ?
Rückseite
f(x) = Σ cₙ e^{inx} mit cₙ = (1/2π)∫f(x)e^{-inx}dx; cₙ = (aₙ - i bₙ)/2 für n>0, c₀ = a₀/2.
Was bewirkt die Fejér-Summe (Cesàro-Mittel) bei Fourier-Reihen?
Rückseite
Sie glättet das Gibbs-Phänomen durch arithmetisches Mitteln der Partialsummen und konvergiert bei stetigen Funktionen gleichmäßig gegen f(x).
Wie löst man die Wärmeleitungsgleichung mit Fourier-Reihen?
Rückseite
Der Ansatz T(x,t)=Σ bₙ e^{-n²kt} sin(nx) erfüllt die PDE; die Koeffizienten bₙ ergeben sich aus der Fourier-Reihe der Anfangstemperatur.