Mathematik Lineare Algebra – Skalar- und Vektorfelder
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Skalarfeld in der Linearen Algebra? · Was definiert ein Vektorfeld im ℝ³?
Karten
14 KartenWas ist ein Skalarfeld in der Linearen Algebra?
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Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt eines Raumes einen Skalar zu, z. B. Temperatur T(x,y,z) im Raum.
Was definiert ein Vektorfeld im ℝ³?
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Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt des Raumes einen Vektor zu, z. B. Geschwindigkeitsfeld v(x,y,z) einer Strömung.
Wie wird der Gradient eines Skalarfeldes berechnet?
Rückseite
Der Gradient ∇f ist der Vektor der partiellen Ableitungen (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) und zeigt in Richtung maximalen Anstiegs.
Was beschreibt der Gradient physikalisch?
Rückseite
Er gibt Richtung und Betrag des stärksten Anstiegs eines Skalarfeldes an, z. B. Wärmefluss entgegen dem Temperaturggradienten.
Wie ist die Divergenz eines Vektorfeldes definiert?
Rückseite
Die Divergenz ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z misst die Quellenstärke eines Vektorfeldes pro Volumeneinheit.
Was bedeutet positive Divergenz physikalisch?
Rückseite
Positive Divergenz kennzeichnet Quellen, negative Senken im Feld; bei inkompressiblen Strömungen ist die Divergenz überall null.
Wie lautet die Formel für die Rotation eines Vektorfeldes?
Rückseite
Die Rotation ∇×F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z, ∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x, ∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y) beschreibt lokale Wirbel.
Was stellt die Rotation physikalisch dar?
Rückseite
Sie misst die lokale Drehbewegung oder Wirbelstärke eines Vektorfeldes, z. B. Rotation eines Fluidelements in einer Strömung.
Was ist der Laplace-Operator Δ?
Rückseite
Der Laplace-Operator Δ = ∇·∇ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² wendet Divergenz auf den Gradient an und beschreibt Diffusion.
Was besagt der Gaußsche Integralsatz?
Rückseite
Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Fläche gleich dem Volumenintegral der Divergenz über das eingeschlossene Volumen: ∯F·dA = ∭(∇·F)dV.
Was beschreibt der Satz von Stokes?
Rückseite
Die Zirkulation eines Vektorfeldes entlang eines geschlossenen Kurvenrandes gleich dem Flächenintegral der Rotation über die darauf gespannte Fläche.
Wann heißt ein Vektorfeld konservativ?
Rückseite
Ein Vektorfeld ist konservativ, wenn es als Gradient eines Potentials geschrieben werden kann: F = ∇φ, dann ist ∇×F = 0.
Wie berechnet man ein Linienintegral im Vektorfeld?
Rückseite
Das Linienintegral ∫_C F·dr summiert die tangentialen Feldkomponenten entlang der Kurve C und gibt die verrichtete Arbeit an.
Was misst der Fluss durch eine Fläche?
Rückseite
Das Flächenintegral ∯_S F·dA misst den Gesamtfluss des Vektorfeldes F durch die orientierte Fläche S, z. B. Massenstrom.