Mathematik Lineare Algebra – Vektoren und Skalarprodukt
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Vektor im ℝⁿ? · Wie wird die Addition zweier Vektoren im ℝⁿ definiert?
Karten
15 KartenWas ist ein Vektor im ℝⁿ?
Rückseite
Ein Vektor im ℝⁿ ist ein geordnetes n-Tupel reeller Zahlen (x₁, ..., xₙ), das als Pfeil vom Ursprung zum Punkt (x₁, ..., xₙ) interpretiert wird.
Wie wird die Addition zweier Vektoren im ℝⁿ definiert?
Rückseite
Komponentenweise: (a₁, ..., aₙ) + (b₁, ..., bₙ) = (a₁+b₁, ..., aₙ+bₙ). Geometrisch entspricht dies dem Parallelogrammverfahren.
Was bewirkt die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar λ ∈ ℝ?
Rückseite
Jede Komponente wird mit λ multipliziert: λ·(x₁, ..., xₙ) = (λx₁, ..., λxₙ). Der Vektor wird gestreckt (|λ|>1), gestaucht (|λ|<1) oder gespiegelt (λ<0).
Wie berechnet man den Betrag (Länge) eines Vektors v = (v₁, ..., vₙ)?
Rückseite
Der euklidische Betrag ist ‖v‖ = √(v₁² + ... + vₙ²). Er entspricht der geometrischen Länge des Pfeils im Koordinatensystem.
Wie ist das Standardskalarprodukt zweier Vektoren im ℝⁿ definiert?
Rückseite
Für v = (v₁, ..., vₙ) und w = (w₁, ..., wₙ) gilt: v·w = v₁w₁ + ... + vₙwₙ. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, kein Vektor.
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Skalarprodukt und Winkel φ zweier Vektoren?
Rückseite
v·w = ‖v‖·‖w‖·cos(φ). Daraus folgt cos(φ) = (v·w) / (‖v‖·‖w‖) für nicht-null Vektoren.
Wann sind zwei Vektoren orthogonal (senkrecht)?
Rückseite
Genau dann, wenn ihr Skalarprodukt null ist: v·w = 0. Der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.
Wie berechnet man die orthogonale Projektion von v auf w ≠ 0?
Rückseite
proj_w(v) = (v·w / ‖w‖²) · w. Der Vektor liegt auf der durch w aufgespannten Geraden und v - proj_w(v) ist orthogonal zu w.
Was besagt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung?
Rückseite
Für alle Vektoren v, w gilt |v·w| ≤ ‖v‖·‖w‖. Gleichheit gilt genau dann, wenn v und w linear abhängig sind (einer ist Skalarvielfaches des anderen).
Was besagt die Dreiecksungleichung für Vektoren?
Rückseite
‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖. Die Länge der Summe ist nie größer als die Summe der Längen – geometrisch: eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der anderen beiden.
Was ist eine Linearkombination von Vektoren v₁, ..., vₖ?
Rückseite
Ein Vektor der Form λ₁v₁ + ... + λₖvₖ mit Koeffizienten λᵢ ∈ ℝ. Die Menge aller Linearkombinationen heißt Spann(v₁, ..., vₖ).
Wann heißen Vektoren v₁, ..., vₖ linear unabhängig?
Rückseite
Wenn aus λ₁v₁ + ... + λₖvₖ = 0 nur die triviale Lösung λ₁ = ... = λₖ = 0 folgt. Andernfalls sind sie linear abhängig.
Was ist eine Basis eines Vektorraums V?
Rückseite
Eine Teilmenge B ⊆ V, die linear unabhängig ist und V aufspannt (jeder Vektor in V ist eindeutig als Linearkombination von Basisvektoren darstellbar).
Wie ist die Dimension eines Vektorraums definiert?
Rückseite
Die Dimension dim(V) ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis von V. Alle Basen eines Vektorraums haben die gleiche Anzahl an Elementen.
Was unterscheidet ein allgemeines Skalarprodukt vom Standardskalarprodukt?
Rückseite
Ein Skalarprodukt ist eine symmetrische, bilineare, positiv definite Abbildung V×V→ℝ. Das Standardskalarprodukt ist der Spezialfall v·w = vᵀw im ℝⁿ; allgemeine Skalarprodukte ermöglichen andere Geometrien (z. B. gewichtete Normen).