Physik Quantenmechanik – Grundlagen und Wellenfunktion
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15 KartenWas beschreibt die Wellenfunktion Ψ(x,t) in der Quantenmechanik?
Rückseite
Ψ(x,t) ist eine komplexwertige Funktion, deren Betragsquadrat |Ψ|² die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens im Raum angibt.
Welche Bedingung muss eine normierbare Wellenfunktion erfüllen?
Rückseite
Das Integral von |Ψ(x,t)|² über den gesamten Raum muss eins ergeben: ∫|Ψ|²dx = 1 (Normierungsbedingung).
Wie lautet die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in 1D?
Rückseite
iħ ∂Ψ/∂t = [-ħ²/2m ∂²/∂x² + V(x)] Ψ, wobei der Hamilton-Operator H die Gesamtenergie darstellt.
Was besagt die Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls?
Rückseite
Δx · Δp ≥ ħ/2: Ort und Impuls können nicht beliebig gleichzeitig scharf gemessen werden; das Produkt ihrer Standardabweichungen hat eine untere Schranke.
Was ist ein Eigenzustand eines Operators?
Rückseite
Ein Zustand ψ, auf den der Operator â angewendet den gleichen Zustand mal einen Eigenwert a liefert: âψ = aψ. Messung ergibt dann deterministisch a.
Wie berechnet man den Erwartungswert eines Observablen A im Zustand Ψ?
Rückseite
⟨A⟩ = ∫ Ψ* â Ψ dx (im Ortsraum). Für normierte Ψ ist dies der Mittelwert vieler Messungen an identisch präparierten Systemen.
Welche Quantenzahlen beschreibt das Wasserstoffatom im stationären Zustand?
Rückseite
Hauptquantenzahl n, Drehimpulsquantenzahl l, Magnetquantenzahl m_l und Spinquantenzahl m_s – vier Quantenzahlen für den vollständigen Zustandsvektor.
Was bedeutet das Pauli-Verbot für Fermionen?
Rückseite
Keine zwei identischen Fermionen (z. B. Elektronen) können denselben Quantenzustand einnehmen – die Gesamtwellenfunktion muss unter Teilchenvertauschung antisymmetrisch sein.
Wie verhält sich die Wellenfunktion beim Tunnel-Effekt an einem Potentialwall?
Rückseite
Ψ fällt im klassisch verbotenen Bereich exponentiell ab, ist aber nicht null – endliche Tunnelwahrscheinlichkeit für Teilchen mit E < V₀.
Was ist der Unterschied zwischen diskretem und kontinuierlichem Spektrum eines Operators?
Rückseite
Diskretes Spektrum: normierbare Eigenfunktionen, quantisierte Eigenwerte (z. B. gebundene Zustände). Kontinuierliches Spektrum: nicht normierbare Eigenfunktionen, kontinuierliche Eigenwerte (z. B. freie Teilchen).
Wie lautet die Kommutatorrelation zwischen Orts- und Impulsoperator?
Rückseite
[x̂, p̂] = x̂p̂ - p̂x̂ = iħ. Daraus folgt direkt die Unschärferelation über die Robertson-Ungleichung.
Was beschreibt die Dichteoperator-Formalismus (ρ) gegenüber dem Zustandsvektor?
Rückseite
ρ = Σ p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i| beschreibt statistische Gemische (inkohärente Superposition), während |ψ⟩ nur reine Zustände erfasst. Spur(ρ) = 1.
Wann sind zwei Observablen gleichzeitig scharf messbar?
Rückseite
Genau dann, wenn ihre Operatoren kommutieren: [Â, B̂] = 0. Dann existiert eine gemeinsame Eigenbasis und beide Observablen haben definierte Werte.
Was ist der physikalische Inhalt des Ehrenfest-Theorems?
Rückseite
Erwartungswerte folgen klassischen Bewegungsgleichungen: d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m und d⟨p⟩/dt = -⟨∂V/∂x⟩. Quantenmechanik geht für große Quantenzahlen in klassische Mechanik über.
Wie lautet die normierte Wellenfunktion für das Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf (0 bis L)?
Rückseite
ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L) für n = 1,2,3... mit Energien E_n = n²π²ħ²/(2mL²). Null an den Rändern wegen unendlichen Potentials.