Mathematik Stochastik – Konfidenzintervalle
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Konfidenzintervall? · Wie wird das Konfidenzniveau 1−α korrekt interpreti…
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14 KartenWas ist ein Konfidenzintervall?
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Ein Intervall, das basierend auf Stichprobendaten den wahren Populationsparameter mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit (Konfidenzniveau) abdeckt.
Wie wird das Konfidenzniveau 1−α korrekt interpretiert?
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Bei wiederholter Ziehung von Stichproben und Intervallkonstruktion enthalten 100(1−α)% der Intervalle den wahren Parameter – nicht: die Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter in diesem einen Intervall liegt.
Wann nutzt du die z-Verteilung für Konfidenzintervalle?
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Bei bekanntem Populationsstandardabweichung σ oder bei großer Stichprobe (n ≥ 30) wegen des zentralen Grenzwertsatzes.
Wann nutzt du die t-Verteilung für Konfidenzintervalle?
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Bei unbekannter Populationsstandardabweichung σ und kleiner Stichprobe (n < 30), vorausgesetzt die Grundgesamtheit ist normalverteilt.
Wie lautet die Formel für das Konfidenzintervall des Mittelwerts mit bekannter σ?
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x̄ ± z₁₋α/₂ · σ/√n, wobei z₁₋α/₂ der kritische Wert der Standardnormalverteilung ist.
Wie lautet die Formel für das Konfidenzintervall des Mittelwerts mit unbekannter σ?
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x̄ ± t₁₋α/₂,ₙ₋₁ · s/√n, wobei t₁₋α/₂,ₙ₋₁ der kritische Wert der t-Verteilung mit n−1 Freiheitsgraden ist.
Was ist der Standardfehler des Mittelwerts?
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Die Standardabweichung der Stichprobenmittelwertverteilung: SE = σ/√n (bekanntes σ) bzw. s/√n (geschätztes σ).
Was ist die Fehlermarge (Margin of Error)?
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Der halbe Intervallbreite: kritischer Wert × Standardfehler. Sie quantifiziert die Genauigkeit der Punktschätzung.
Wie berechnest du ein Konfidenzintervall für einen Anteil p?
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p̂ ± z₁₋α/₂ · √(p̂(1−p̂)/n), gültig für n·p̂ ≥ 5 und n·(1−p̂) ≥ 5 (Normalapproximation).
Wie beeinflusst die Stichprobengröße n die Intervallbreite?
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Die Breite ist proportional zu 1/√n: Vervierfachung von n halbiert die Intervallbreite (Genauigkeit steigt mit Wurzel aus n).
Wie beeinflusst das Konfidenzniveau die Intervallbreite?
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Höheres Konfidenzniveau (z. B. 99 % statt 95 %) vergrößert den kritischen Wert und damit die Intervallbreite – mehr Sicherheit kostet Präzision.
Welchen Zusammenhang haben Konfidenzintervalle und zweiseitige Hypothesentests?
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Ein Parameterwert liegt im 1−α-Konfidenzintervall genau dann, wenn der zugehörige zweiseitige Test auf Niveau α die Nullhypothese nicht ablehnt.
Was ist der häufigste Interpretationsfehler bei Konfidenzintervallen?
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Die Aussage: 'Mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Parameter in diesem Intervall.' – Falsch: Der Parameter ist fix, das Intervall ist zufällig.
Welche Voraussetzungen müssen für t-Konfidenzintervalle erfüllt sein?
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Unabhängige Beobachtungen, Normalverteilung der Grundgesamtheit (oder n ≥ 30), metrische Skalierung, keine starken Ausreißer.