Mathematik Analysis – Mehrdimensionale Integrale
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein mehrdimensionales Integral über ein Gebiet in R^n? · Was besagt der Satz …
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14 KartenWas ist ein mehrdimensionales Integral über ein Gebiet in R^n?
Rückseite
Das mehrdimensionale Integral verallgemeinert das Riemann-Integral auf Funktionen mehrerer Variablen und berechnet den Inhalt unter dem Graphen in R^{n+1}.
Was besagt der Satz von Fubini für stetige Funktionen?
Rückseite
Für stetige Funktionen auf Quadergebieten lässt sich das n-dimensionale Integral als n-faches iteriertes Integral in beliebiger Reihenfolge berechnen.
Wann darf die Integrationsreihenfolge bei iterierten Integralen vertauscht werden?
Rückseite
Die Reihenfolge darf vertauscht werden, wenn die Funktion auf dem Integrationsgebiet absolut integrierbar ist – Fubini-Tonelli garantiert dies für nichtnegative oder stetige Funktionen.
Wie lautet die Integrationsvorschrift für ein Typ-1-Gebiet in R²?
Rückseite
Ein Typ-1-Gebiet wird durch y-Grenzen als Funktionen von x beschrieben: ∫∫ f(x,y) dy dx mit y von φ₁(x) bis φ₂(x).
Was charakterisiert ein Typ-2-Gebiet in der Ebene?
Rückseite
Bei Typ-2-Gebieten laufen die x-Grenzen als Funktionen von y: ∫∫ f(x,y) dx dy mit x von ψ₁(y) bis ψ₂(y).
Wie transformiert man ein Integral unter einer Variablentransformation Φ?
Rückseite
Das Integral transformiert sich mit der Betrags-Jacobischen: ∫ f(Φ(u)) |det DΦ(u)| du über das Urbildgebiet.
Was ist die Jacobi-Determinante bei der Transformation nach Polarkoordinaten?
Rückseite
Für x = r cos φ, y = r sin φ beträgt die Jacobi-Determinante r – das Flächenmaß wird zu r dr dφ.
Wann lohnt sich der Wechsel in Polarkoordinaten?
Rückseite
Polarkoordinaten vereinfachen Integrale über kreissymmetrische Gebiete oder Funktionen mit x²+y²-Struktur, da die Jacobi-Determinante r radial symmetrisch gewichtet.
Wie lautet das Volumenelement in Zylinderkoordinaten (r, φ, z)?
Rückseite
In Zylinderkoordinaten ist das Volumenelement r dr dφ dz – die Jacobi-Determinante entspricht der in Polarkoordinaten, ergänzt um dz.
Wie transformiert das Volumenelement in Kugelkoordinaten (ρ, φ, θ)?
Rückseite
Für x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ ist die Jacobi-Determinante ρ² sin φ.
Wie berechnet man das Volumen eines Körpers K ⊂ R³ mit Integralen?
Rückseite
Das Volumen ergibt sich als Dreifachintegral der Eins-Funktion über K: V(K) = ∫∫∫_K 1 dV mit passenden Koordinaten.
Wie bestimmt man den Schwerpunkt eines homogenen Körpers in R³?
Rückseite
Die Schwerpunktkoordinaten sind die Integrale der Koordinatenfunktionen geteilt durch das Volumen: x̄ = (1/V)∫∫∫ x dV.
Was ist der Zusammenhang zwischen mehrdimensionalen Integralen und Wahrscheinlichkeitsdichten?
Rückseite
Eine Dichte f auf R^n erfüllt ∫∫...∫ f(x) dx = 1; Wahrscheinlichkeiten sind Integrale von f über Teilgebiete.
Wie erkennt man, ob eine Funktion auf einem unbeschränkten Gebiet integrierbar ist?
Rückseite
Man prüft die absolute Integrierbarkeit über wachsende Kompakte – existiert der Limes der Integrale, ist die Funktion uneigentlich integrierbar.