Mathematik Beweisführung – Direkter und indirekter Beweis

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Ein direkter Beweis leitet die zu zeigende Aussage durch logische Schlussfolgerungen aus den Voraussetzungen her, ohne Umwege über Negationen.

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Man nimmt das Gegenteil der zu beweisenden Aussage an und zeigt, dass dies zu einem logischen Widerspruch führt – die ursprüngliche Aussage muss dann wahr sein.

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Die Contraposition beweist eine Implikation A → B, indem man die äquivalente Gegenimplikation ¬B → ¬A zeigt – oft einfacher als der direkte Weg.

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Wenn die Voraussetzungen natürlich zur Schlussfolgerung führen und keine Negationen nötig sind – der Beweis wird übersichtlicher und fehleranfälliger.

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Bei Aussagen, die eine Nichtexistenz oder Eindeutigkeit formulieren, oder wenn die direkte Herleitung schwer zugänglich ist.

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Seien a=2k, b=2m mit k,m∈ℤ. Dann a+b=2k+2m=2(k+m). Da k+m∈ℤ ist, ist a+b ein Vielfaches von 2, also gerade.

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Annahme: √2=p/q gekürzt. Dann 2=p²/q² ⇒ p²=2q². Also ist p² und damit p gerade. Setze p=2k ⇒ 4k²=2q² ⇒ q²=2k², also q auch gerade. Widerspruch zur Gekürztheit.

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Existenzbeweis: Ein einziges Beispiel genügt (konstruktiv oder nicht-konstruktiv). Allaussage: Muss für alle Elemente der Menge gelten – ein Gegenbeispiel widerlegt sie.

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Man zerlegt die Voraussetzungen in erschöpfende, disjunkte Fälle und beweist die Aussage für jeden Fall separat – die Gesamtheit beweist die Aussage.

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Gilt A(1) und folgt aus A(k) immer A(k+1), so gilt A(n) für alle n∈ℕ. Basis und Induktionsschritt sind beide zwingend nötig.

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Eine Implikation A → B ist wahr, wenn A falsch ist – die Aussage sagt über leere Mengen nichts aus, ist aber logisch valide.

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Nicht das exakte Gegenteil annehmen, zirkuläre Argumentation, Widerspruch nicht explizit benennen, oder die Annahme nicht vollständig widerlegen.

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1. Gegeben und Gesucht formulieren. 2. Beweisidee skizzieren. 3. Jeder Schritt begründet (Definition, Lemma, Axiom). 4. Schlussaussage explizit als bewiesen kennzeichnen.

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Konstruktiv: Das gesuchte Objekt wird explizit angegeben oder algorithmisch erzeugt. Nicht-konstruktiv: Existenz wird logisch gezeigt, ohne das Objekt zu nennen (z. B. über Widerspruch).

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Ein einziges Gegenbeispiel genügt: Man nennt ein Element der Grundmenge, das die Eigenschaft nicht erfüllt – die Allaussage ist damit bewiesen falsch.