Mathematik Analysis – Potenzreihen und Konvergenzradius
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 16 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x₀? · Wie ist der Konvergenzradius …
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16 KartenWas ist eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x₀?
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Eine Reihe der Form Σ aₙ(x−x₀)ⁿ mit Koeffizienten aₙ ∈ ℂ und Variable x.
Wie ist der Konvergenzradius R einer Potenzreihe definiert?
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R = sup{r ≥ 0 | Σ aₙ(x−x₀)ⁿ konvergiert für alle x mit |x−x₀| < r}.
Was besagt die Cauchy-Hadamard-Formel für den Konvergenzradius?
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1/R = limsupₙ→∞ ⁿ√|aₙ| mit den Konventionen 1/0 = ∞ und 1/∞ = 0.
Wann darf die Quotientenformel (d'Alembert) für R angewendet werden?
Rückseite
Nur wenn lim |aₙ₊₁/aₙ| existiert; bei Lücken in den Koeffizienten liefert sie falsche Ergebnisse.
Wie verhält sich eine Potenzreihe innerhalb, außerhalb und am Rand des Konvergenzkreises?
Rückseite
Absolut konvergent für |x−x₀| < R, divergent für |x−x₀| > R, am Rand |x−x₀| = R uneinheitlich – muss einzeln geprüft werden.
Was besagt das Majorantenkriterium von Weierstraß für Potenzreihen?
Rückseite
Eine Potenzreihe konvergiert auf jedem abgeschlossenen Kreis |x−x₀| ≤ r < R gleichmäßig und absolut.
Was besagt der Satz von Abel über das Randverhalten?
Rückseite
Konvergiert Σ aₙRⁿ, so konvergiert die Potenzreihe stetig bis zum Randpunkt x₀+R.
Darf man eine Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius gliedweise differenzieren?
Rückseite
Ja, die abgeleitete Reihe Σ n·aₙ(x−x₀)ⁿ⁻¹ hat denselben Konvergenzradius R.
Darf man eine Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius gliedweise integrieren?
Rückseite
Ja, die integrierte Reihe Σ aₙ/(n+1)·(x−x₀)ⁿ⁺¹ hat denselben Konvergenzradius R.
Was besagt der Identitätssatz für Potenzreihen?
Rückseite
Stimmen zwei Potenzreihen auf einer Menge mit Häufungspunkt überein, sind alle Koeffizienten identisch.
Wie lautet die Exponentialreihe und ihr Konvergenzradius?
Rückseite
exp(x) = Σ xⁿ/n! mit R = ∞, konvergiert also auf ganz ℝ bzw. ℂ.
Wie lautet die geometrische Reihe und ihr Konvergenzradius?
Rückseite
1/(1−x) = Σ xⁿ für |x| < 1 mit R = 1, am Rand x = ±1 divergent.
Wie lautet die Potenzreihenentwicklung von ln(1+x) und ihr Konvergenzradius?
Rückseite
ln(1+x) = Σ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ/n für |x| ≤ 1, x ≠ −1 mit R = 1.
Ist jede beliebig oft differenzierbare Funktion durch ihre Taylorreihe darstellbar?
Rückseite
Nein, z. B. f(x)=exp(−1/x²) für x≠0, f(0)=0 ist C^∞ mit Null-Taylorreihe, aber nicht identisch null.
Was besagt der Hadamard-Lückensatz für Potenzreihen?
Rückseite
Fehlen in einer Potenzreihe hinreichend viele Koeffizienten (Lücken), ist der Konvergenzkreis eine natürliche Grenze – keine analytische Fortsetzung möglich.
Wie berechnet man den Konvergenzradius der Reihe Σ n!·xⁿ?
Rückseite
Mit Cauchy-Hadamard: ⁿ√|n!| ∼ n/e → ∞, also 1/R = ∞ ⇒ R = 0.