Mathematik Stochastik – Poisson-Verteilung
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15 KartenWelche Parameter hat die Poisson-Verteilung?
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Ein einziger Parameter λ (Lambda) > 0, der sowohl Erwartungswert als auch Varianz der Verteilung bestimmt.
Was beschreibt die Poisson-Verteilung inhaltlich?
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Anzahl selten auftretender, unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall (Zeit, Fläche, Länge) bei konstanter mittlerer Rate λ.
Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) der Poisson-Verteilung?
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P(X = k) = e^(-λ) · λ^k / k! für k = 0, 1, 2, ... mit λ > 0 als Erwartungswert.
Wie berechnet man den Erwartungswert E(X) einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen?
Rückseite
E(X) = λ. Der Parameter λ ist direkt der Erwartungswert der Verteilung.
Wie groß ist die Varianz Var(X) bei der Poisson-Verteilung?
Rückseite
Var(X) = λ. Erwartungswert und Varianz stimmen bei der Poisson-Verteilung überein (Equidispersion).
Wann approximiert man die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung?
Rückseite
Bei großem n (n > 50), kleinem p (p < 0,1) und mäßigem np (np ≤ 5); λ = n · p als Approximationsparameter.
Wie approximiert man die Poisson-Verteilung durch die Normalverteilung?
Rückseite
Für λ > 10: X ~ Po(λ) ≈ N(λ; λ) mit Stetigkeitskorrektur P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 - λ)/√λ).
Was besagt die Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung?
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Summe unabhängiger Po(λ₁) und Po(λ₂) verteilter Variablen ist wieder Poisson-verteilt mit Parameter λ₁ + λ₂.
Wie berechnet man P(X ≥ k) bei der Poisson-Verteilung effizient?
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Über Komplementärwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) = 1 - Σ_{i=0}^{k-1} e^(-λ)λ^i/i!.
Was ist der Modus der Poisson-Verteilung?
Rückseite
Bei ganzzahligem λ: zwei Modi λ und λ-1; bei nicht-ganzzahligem λ: Modus = ⌊λ⌋ (abgerundeter λ).
Wie lautet die Momentenerzeugende Funktion der Poisson-Verteilung?
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M_X(t) = exp(λ(e^t - 1)) für t ∈ ℝ; nützlich für Herleitung von Erwartungswert und Varianz.
Wann liegt Überdispersion vor im Vergleich zur Poisson-Verteilung?
Rückseite
Wenn empirische Varianz > Erwartungswert (Var > E); Poisson-Annahme verletzt, Negative-Binomial-Verteilung oft besser.
Wie schätzt man λ aus einer Stichprobe x₁,...,xₙ?
Rückseite
Maximum-Likelihood-Schätzer: λ̂ = x̄ (arithmetisches Mittel); ist erwartungstreu, effizient und hinreichend.
Was ist der Unterschied zwischen Poisson-Prozess und Poisson-Verteilung?
Rückseite
Poisson-Prozess modelliert Ereigniszeiten mit Exponentialverteilung der Wartezeiten; Poisson-Verteilung gibt Anzahl Ereignisse in festem Intervall an.
Wie prüft man Anpassung an Poisson-Verteilung mit Chi-Quadrat-Test?
Rückseite
H₀: Daten folgen Po(λ̂); berechne erwartete Häufigkeiten n·P(X=k), fasse Klassen mit erwarteter Häufigkeit < 5 zusammen, prüfe χ²-Statistik mit df = Klassen - 2.