Mathematik Stochastik – Zufallsvariablen
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14 KartenWas ist eine Zufallsvariable formal definiert?
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Eine Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung X: Ω → ℝ von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P) in die reellen Zahlen mit der Borel-σ-Algebra.
Woran erkennst du, ob eine Zufallsvariable diskret oder stetig ist?
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Diskret: abzählbar viele Werte, Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) = P(X=x). Stetig: überabzählbar viele Werte, Dichtefunktion f(x) mit P(a≤X≤b)=∫f(x)dx.
Wie lautet die Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariablen?
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F(x) = P(X ≤ x) für alle x ∈ ℝ. Sie ist monoton steigend, rechtsstetig, mit lim(x→-∞)F(x)=0 und lim(x→∞)F(x)=1.
Wie berechnest du den Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariablen?
Rückseite
E(X) = Σ x·p(x) über alle möglichen Werte x. Die Summe muss absolut konvergieren, damit E(X) existiert.
Wie berechnest du den Erwartungswert E(X) einer stetigen Zufallsvariablen?
Rückseite
E(X) = ∫ x·f(x) dx über ℝ. Das Integral muss absolut konvergieren. Für nicht-negative X gilt auch E(X)=∫(1-F(x))dx.
Was besagt die Linearität des Erwartungswerts?
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E(aX + bY) = a·E(X) + b·E(Y) für beliebige Zufallsvariablen X,Y und Konstanten a,b ∈ ℝ – Unabhängigkeit ist NICHT erforderlich.
Wie ist die Varianz Var(X) definiert und wie berechnest du sie?
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Var(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - (E(X))². Sie misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
Wie verhält sich die Varianz bei linearen Transformationen?
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Var(aX + b) = a²·Var(X). Der additive Term b verschiebt nur die Verteilung, ändert die Streuung nicht.
Wann sind zwei Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig?
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Gilt P(X∈A, Y∈B) = P(X∈A)·P(Y∈B) für alle Borel-Mengen A,B. Äquivalent: F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)·F_Y(y) für alle x,y.
Wie berechnest du Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung B(n,p)?
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E(X) = n·p, Var(X) = n·p·(1-p). X zählt Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Welche Parameter kennzeichnen die Normalverteilung N(μ,σ²) und was ist ihre Dichtefunktion?
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Parameter: μ ∈ ℝ (Erwartungswert), σ² > 0 (Varianz). Dichte: f(x) = 1/√(2πσ²) · exp(-(x-μ)²/(2σ²)).
Was besagt der Zentralwertsatz (Central Limit Theorem) für Zufallsvariablen?
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Für i.i.d. Zufallsvariablen X₁,...,Xₙ mit E(X)=μ, Var(X)=σ² konvergiert die Verteilung von (ΣXᵢ - nμ)/(σ√n) gegen N(0,1) für n→∞.
Wie lautet die Dichtefunktion der Exponentialverteilung Exp(λ) und wofür wird sie genutzt?
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f(x) = λ·e^{-λx} für x≥0, λ>0. Modelliert Wartezeiten bis zum ersten Ereignis in einem Poisson-Prozess. Gedächtnislosigkeit: P(X>s+t|X>s)=P(X>t).
Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation zweier Zufallsvariablen?
Rückseite
Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] misst linearen Zusammenhang (skalenvariante). Korrelation ρ = Cov(X,Y)/√(Var(X)Var(Y)) ist dimensionslos in [-1,1].