Mathematik Analysis – Partielle Integration
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Wie lautet die Formel der partiellen Integration? · Aus welcher Ableitungsregel leite…
Karten
14 KartenWie lautet die Formel der partiellen Integration?
Rückseite
∫ u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) - ∫ u'(x)·v(x) dx. Man integriert v' zu v und leitet u ab.
Aus welcher Ableitungsregel leitet sich die partielle Integration her?
Rückseite
Aus der Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'. Nach Integration und Umstellen erhält man die partielle Integrationsformel.
Was besagt die LIATE-Regel bei der Wahl von u und v'?
Rückseite
Rangfolge für u: Logarithmus > Inverse trig. > Algebraisch > Trigonometrisch > Exponential. Das früher stehende wird u, das spätere v'.
Wie integriert man ∫ x·eˣ dx mit partieller Integration?
Rückseite
u = x (algebraisch), v' = eˣ → v = eˣ. Ergebnis: x·eˣ - ∫ eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C = eˣ(x - 1) + C.
Wie löst man ∫ ln(x) dx, obwohl kein Produkt sichtbar ist?
Rückseite
Schreibe ln(x) = 1·ln(x). Wähle u = ln(x), v' = 1 → v = x. Ergebnis: x·ln(x) - ∫ x·(1/x) dx = x·ln(x) - x + C.
Was passiert bei ∫ x²·cos(x) dx nach zweimaliger partieller Integration?
Rückseite
Das Polynom x² wird durch Ableitung zu 2x, dann zu 2, schließlich zu 0. Das Integral reduziert sich auf trigonometrische Funktionen.
Wie wendet man partielle Integration auf bestimmte Integrale an?
Rückseite
∫_a^b u·v' dx = [u·v]_a^b - ∫_a^b u'·v dx. Die Grenzen werden beim Randterm [u·v]_a^b und im verbleibenden Integral beibehalten.
Wann eignet sich die tabellarische Methode (DI-Methode)?
Rückseite
Wenn u sich nach mehrfacher Ableitung zu 0 reduziert (Polynome) und v' sich beliebig oft integrieren lässt (eˣ, sin, cos). Spart Rechenschritte.
Welcher Fehler passiert häufig bei der Wahl von u und v'?
Rückseite
u wird so gewählt, dass u' komplizierter wird (z. B. u = eˣ statt u = x). Folge: Das neue Integral ist schwieriger als das ursprüngliche.
Wie integriert man ∫ arctan(x) dx?
Rückseite
Schreibe arctan(x)·1. u = arctan(x) (invers trig.), v' = 1 → v = x. Ergebnis: x·arctan(x) - ∫ x/(1+x²) dx = x·arctan(x) - ½·ln(1+x²) + C.
Was ist eine Reduktionsformel und wie entsteht sie?
Rückseite
Eine Rekursionsformel, die ∫ xⁿ·f(x) dx auf ∫ xⁿ⁻¹·f(x) dx zurückführt. Entsteht durch partielle Integration mit u = xⁿ, v' = f(x).
Wann sollte man partielle Integration NICHT anwenden?
Rückseite
Bei Integralen, die durch Substitution einfacher lösbar sind (z. B. ∫ x·e^{x²} dx: Substitution u = x²). Prüfe immer zuerst Substitution.
Wie behandelt man ∫ eˣ·sin(x) dx, wo keine Funktion verschwindet?
Rückseite
Zweimal partielle Integration führt zum Ausgangsintegral zurück. Gleichung nach dem gesuchten Integral auflösen: I = ½·eˣ(sin(x) - cos(x)) + C.
Warum funktioniert partielle Integration bei ∫ f⁻¹(x) dx für Umkehrfunktionen?
Rückseite
Setze u = f⁻¹(x), v' = 1. Dann u' = 1/f'(f⁻¹(x)) und v = x. Das neue Integral enthält f und f⁻¹, oft lösbar durch Rücksubstitution y = f⁻¹(x).