Mathematik Geometrie – Analytische Geometrie
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 14 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist ein Vektor im R³? · Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Karten
14 KartenWas ist ein Vektor im R³?
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Ein Vektor ist ein gerichteter Pfeil mit Betrag und Richtung, dargestellt als Spaltenvektor (x, y, z)ᵀ vom Ursprung aus.
Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?
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Skalarprodukt a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cos(φ); Ergebnis ist ein Skalar, misst Winkel φ zwischen den Vektoren.
Was liefert das Kreuzprodukt zweier Vektoren im R³?
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Einen Vektor, der orthogonal auf beiden Eingabevektoren steht; Betrag entspricht Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.
Wie lautet die Parameterform einer Geraden im R³?
Rückseite
g: x = p + t·u, wobei p Stützvektor (Punkt auf g), u Richtungsvektor ≠ 0 und t ∈ ℝ Parameter ist.
Wie lautet die Koordinatenform einer Ebene im R³?
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E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d mit Normalenvektor n = (n₁, n₂, n₃)ᵀ ≠ 0 und d ∈ ℝ.
Wie erhält man die Parameterform einer Ebene aus drei Punkten?
Rückseite
Wähle einen Punkt als Stützvektor p, bilde zwei Richtungsvektoren u = q-p, v = r-p; Parameterform: x = p + s·u + t·v.
Welche Lagebeziehungen gibt es zwischen zwei Geraden im R³?
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Identisch, echt parallel, schneidend (echter Schnittpunkt) oder windschief (nicht parallel, kein Schnittpunkt, nicht in einer Ebene).
Wie prüft man, ob eine Gerade eine Ebene schneidet?
Rückseite
Setze Parameterform der Geraden in Koordinatenform der Ebene ein; eine Lösung für t → Schnittpunkt, keine Lösung → parallel, alle t → Gerade liegt in Ebene.
Wie berechnet man den Abstand eines Punkts zu einer Ebene?
Rückseite
Abstand = |n·p - d| / |n| mit Normalenvektor n, Stützvektor p des Punkts und Ebenengleichung n·x = d.
Wie bestimmt man den Abstand eines Punkts zu einer Geraden?
Rückseite
Abstand = |(p - q) × u| / |u|; p Ortsvektor des Punkts, q Stützvektor der Geraden, u Richtungsvektor der Geraden.
Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen?
Rückseite
Winkel φ zwischen Normalenvektoren n₁, n₂: cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|); Betrag im Zähler gibt spitzen Winkel.
Wie spiegelt man einen Punkt an einer Ebene?
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Verbinde Punkt P mit Ebenenfußpunkt F (Lot auf Ebene); Spiegelbild P' liegt auf Verlängerung mit |PF| = |FP'|; P' = P + 2·(F-P).
Was sind Spurpunkte einer Ebene?
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Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen; bei Koordinatenform n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃=d: S₁(d/n₁,0,0), S₂(0,d/n₂,0), S₃(0,0,d/n₃).
Wie erhält man den Normalenvektor einer Ebene aus der Parameterform?
Rückseite
Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: n = u × v; ergibt Vektor orthogonal zur Ebene, nutzbar für Koordinatenform.