Mathematik Kombinatorik – Binomialkoeffizienten
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14 KartenWas bezeichnet der Binomialkoeffizient n über k?
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Die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n verschiedenen Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen.
Wie lautet die Fakultätsformel für n über k?
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n über k = n! / (k! · (n-k)!) für 0 ≤ k ≤ n, wobei 0! = 1 definiert ist.
Welche Symmetrieeigenschaft gilt für Binomialkoeffizienten?
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n über k = n über (n-k), da die Wahl von k Elementen gleichbedeutend mit dem Weglassen von n-k Elementen ist.
Was besagt die Pascalsche Rekursionsformel?
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n über k = (n-1 über k-1) + (n-1 über k) für 1 ≤ k ≤ n-1, Randwerte sind 1.
Wie wird das Pascalsche Dreieck konstruiert?
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Jede Zeile n beginnt und endet mit 1, jede innere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen schräg darüber aus Zeile n-1.
Was besagt der Binomische Lehrsatz für (a+b)^n?
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(a+b)^n = Summe von k=0 bis n von (n über k) · a^(n-k) · b^k, die Koeffizienten sind Binomialkoeffizienten.
Welchen Wert hat die Summe aller Binomialkoeffizienten einer Zeile n?
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Die Summe aller n über k für k=0 bis n ergibt 2^n, erhältlich durch Einsetzen von a=b=1 im Binomischen Lehrsatz.
Was ist der mittlere Binomialkoeffizient bei geradem n?
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Bei geradem n = 2m ist der größte Koeffizient 2m über m, er liegt zentral in Zeile 2m des Pascalschen Dreiecks.
Wie viele Ziehungen gibt es beim Lotto 6 aus 49?
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49 über 6 = 13.983.816 mögliche Kombinationen, berechnet als 49! / (6! · 43!).
Was beschreibt die Vandermonde-Identität?
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Summe über k von (m über k)·(n über r-k) = (m+n über r), kombinatorischer Beweis durch Aufteilung einer (m+n)-Menge.
Wie beweist man den Binomischen Lehrsatz per vollständiger Induktion?
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Induktionsanfang n=0 trivial, Induktionsschritt nutzt Pascalsche Rekursion beim Multiplizieren von (a+b)^n mit (a+b).
Welchen Zusammenhang haben Binomialkoeffizienten zur Binomialverteilung?
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Die Wahrscheinlichkeit P(X=k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k) nutzt Binomialkoeffizienten als Anzahl der Erfolgsfolgen.
Was bedeutet n über 0 und n über n?
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Beide gleich 1: Es gibt genau eine Möglichkeit, keine Elemente oder alle n Elemente auszuwählen.
Wie berechnet man 10 über 3 ohne Taschenrechner?
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10·9·8 / (3·2·1) = 720 / 6 = 120, Kürzen vor Multiplizieren vermeidet große Zahlen.