Mathematik Numerik – Fehleranalyse und Kondition
Karteikarten zum Thema „Mathematik“ · 15 Karten · von atrio. Beispiele: Was ist der absolute Fehler einer Näherung x̃ zu einem exakten Wert x? · Wie wird der…
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15 KartenWas ist der absolute Fehler einer Näherung x̃ zu einem exakten Wert x?
Rückseite
Der absolute Fehler ist |x - x̃|, also der Betrag der Differenz zwischen exaktem Wert und Näherung.
Wie wird der relative Fehler definiert und wann ist er aussagekräftiger?
Rückseite
Relativer Fehler = |x - x̃| / |x| (für x ≠ 0). Er ist aussagekräftiger, da er die Größenordnung des exakten Werts berücksichtigt.
Unterscheide Vorwärtsfehler und Rückwärtsfehler bei numerischen Verfahren.
Rückseite
Vorwärtsfehler: Abweichung des berechneten Ergebnisses vom exakten. Rückwärtsfehler: Störung der Eingabedaten, die das berechnete Ergebnis exakt erklären würde.
Was besagt die Konditionszahl κ eines Problems?
Rückseite
κ misst die maximale relative Ausgabeänderung bei relativer Eingabeänderung: κ = lim_{δ→0} sup (|Δy|/|y|) / (|Δx|/|x|).
Wann nennt man ein Problem gut konditioniert, wann ill-konditioniert?
Rückseite
Gut konditioniert: κ ≈ 1 (kleine Eingabeänderungen → kleine Ausgabeänderungen). Ill-konditioniert: κ ≫ 1 (kleine Eingabeänderungen → große Ausgabeänderungen).
Wie lautet die Konditionszahl einer regulären Matrix A bezüglich des linearen Gleichungssystems Ax = b?
Rückseite
κ(A) = ||A|| · ||A⁻¹|| in einer konsistenten Matrixnorm. Sie quantifiziert die Empfindlichkeit der Lösung x gegenüber Störungen in A und b.
Was bedeutet numerische Stabilität eines Algorithmus?
Rückseite
Ein Algorithmus ist numerisch stabil, wenn sein Vorwärtsfehler der Größenordnung der Konditionszahl mal Maschinengenauigkeit entspricht – er verschlechtert das Problem nicht zusätzlich.
Unterscheide vorwärtsstabile und rückwärtsstabile Algorithmen.
Rückseite
Vorwärtsstabil: kleiner Vorwärtsfehler. Rückwärtsstabil: das berechnete Ergebnis ist exakte Lösung eines leicht gestörten Problems – stärkere Eigenschaft, impliziert Vorwärtsstabilität bei gut konditionierten Problemen.
Was ist Auslöschung (Cancellation) und warum ist sie gefährlich?
Rückseite
Auslöschung: Subtraktion fast gleicher Zahlen führt zu massivem relativer Fehleranstieg, da signifikante Stellen verlorengehen und nur ungenaue niedrige Stellen bleiben.
Wie vermeidet man Auslöschung bei der Berechnung von √(x²+1) - x für große x?
Rückseite
Multipliziere mit dem konjugiert komplexen Ausdruck: (√(x²+1) - x) · (√(x²+1) + x) / (√(x²+1) + x) = 1 / (√(x²+1) + x) – stabil für große x.
Was ist die Maschinengenauigkeit (Machine Epsilon) ε_mach?
Rückseite
Kleinstes positives Zahl, sodass fl(1 + ε_mach) > 1 in der Gleitkommaarithmetik. Bei IEEE-754 double: ε_mach ≈ 2.22·10⁻¹⁶.
Wie schätzt man den Vorwärtsfehler bei der Lösung von Ax = b mit Störungen in b ab?
Rückseite
||Δx||/||x|| ≤ κ(A) · ||Δb||/||b||. Der relative Lösungsfehler wird maximal um Faktor κ(A) gegenüber dem relativen Rechten-Seite-Fehler verstärkt.
Was besagt der Satz von Wilkinson zur rückwärtsstabilen Lösung linearer Gleichungssysteme?
Rückseite
Für rückwärtsstabile Verfahren (z. B. LR-Zerlegung mit Pivotisierung) gilt: (A+ΔA)x̃ = b mit ||ΔA||/||A|| = O(ε_mach) – die berechnete Lösung ist exakt für minimal gestörte Matrix.
Warum ist die Kondition der Hilbert-Matrix H_ij = 1/(i+j-1) extrem schlecht?
Rückseite
Hilbert-Matrizen haben exponentiell wachsende Konditionszahlen (κ(H_n) ≈ O((1+√2)^{4n}/√n)), da sie fast linear abhängige Spalten besitzen – klassisches Beispiel für ill-konditionierte Probleme.
Wie wirkt sich Fehlerfortpflanzung bei der Horner-Schema-Auswertung eines Polynoms aus?
Rückseite
Das Horner-Schema ist rückwärtsstabil: das berechnete Polynomwert entspricht dem exakten Wert bei leicht gestörten Koeffizienten – Fehlerfortpflanzung linear in Grad und ε_mach, nicht exponentiell.